Etude locale de fonction

[Fed]

Bonjour,

Ici plusieurs questions (sans doute faciles) sur l'étude locale de fonctions : limite, developpement limité, continuité, dérivabilité...

La première (comment je fais pour utiliser la syntaxe maths?):

calculer la limite de ( 1-sqrt2(cosx) ) / (1-sqrt2 (sinx)) en pi/4

Ma démarche : on a cos(pi/4)= sin(pi/4) donc en terme de limite : lim(x->pi/4) ( 1-sqrt2(cosx) ) / (1-sqrt2 (sinx)) = lim(x->pi/4) ( 1-sqrt2(cosx) ) / (1-sqrt2 (cosx)) = 1

Or la limite est -1; je ne vois pas l'erreur dans mon raisonnement.

[arnaud32]

et pourquoi cette limite serait elle -1?
la fonction est positive au voisinage de ton point, elle est meme continue
la limite est donc juste la vlaueur en ce point

[Fed]

en pi/4 la fonction n'est pas continue puisque (1-sqrt2 (sin(pi/4)))= 0 (si je ne me trompe pas). De plus, la solution de l'exo ainsi que le graphe de la fonction montrent bien une limite égale à -1.

En visualisant le cercle, je pense que cela est dû au fait que lorsque x tend vers pi/4 par valeurs inférieures, le sinus tend vers sqrt2/2 par valeur inférieures, et le cosinus par valeurs supérieures (et inversement).Ce qui expliquerait que le numérateur est positif quand le dénominateur est négatif et inversement.

Néanmoins, je ne vois toujours pas l'erreur dans mon raisonnement :/

[arnaud32]

que designes tu par sqrt2 ?

[arnaud32]

ta fonction c'est ?
dans ce cas (ce que je n'avais pas compris tu fais juste un DL de Cos et Sin au voisinage de pi/4 grace a la formule de taylor

[Fed]

Merci de ta patience Arnaud32. Tu viens (involontairement) de me faire comprendre comment les DL servent à déterminer les limites (enfin je pense). Mon exercice consistait simplement à étudier un éventuel prolongement par continuité de la fonction que tu marques ci-dessus. Pour ca, il faut, je crois, déterminer la limite de cette fonction quand x tend vers pi/4, ce que j'ai tenté de faire simplement :

Ma démarche : on a cos(pi/4)= sin(pi/4) donc en terme de limite : lim(x->pi/4) ( 1-sqrt2(cosx) ) / (1-sqrt2 (sinx)) = lim(x->pi/4) ( 1-sqrt2(cosx) ) / (1-sqrt2 (cosx)) = 1 (pourquoi, puisqu'aux abords de pi/4, cosx->sinx , ne pas simplement remplacer sin(x) par cos(x)?)

La correction n'utilise pas cette facon de faire (erronée quelque part), et suggère de modifier l'expression de la fonction à coups de formules de trigo avec lesquelles j'ai beaucoup de difficultés (donc je n'ai pas trouvé comment).

Maintenant, est-il rigoureux d'utiliser le DL de u et v avec f(x) = (1-u)/(1-v) pour trouver la limite voulue?

[arnaud32]

tu te retrouves avec

[Black Jack]

Ou bien, si tu l'as apprise, tu appliques la règle de Lhospital... et la réponse est immédiate.

:zen: