Etude de limites, asymptotes... exo CPGE 1e année

[klemman]

Bonsoir à tout le monde, je suis en CPGE TSI 1e année, et j'ai un petit exercice à faire, qui demande un peu de temps, mais j'ai quelques soucis pour certaines question. Je vous donne ci dessous l'énoncé :

------ début de l'énoncé -------

On définit la fonction f par : f(x) = [x^2*exp(1/x)] / (x-1) pour tout x de R - 0;1

1) Etudier les limites de la fonction f aux bornes du domaine de définition

2) Etudier les variations de f

3) Soit g(x) = f(x)- x*exp(1/x) et h(x) = x * ( exp(1/x) - 1 ). Déduire de l'étude des limites de g, h, g+h en +infini, et -infini, l'existence d'une droite asymptote (D) à la courbe représentative (C) de f.

4) Montrer que , quelque soit u appartenant à R*, exp(u)-1 > u. En déduire le signe de [(exp(u)-1)/u]-1 pour u>0 et u<0.

5) Montrer les propriétées suivantes :

¤ quelque soit x>1, g(x)>1 et h(x)>1
¤ quelque soit x<0, g(x)<1 et h(x)<1

En déduire la position de (C) par rapport à (D). Tracer alors (C).

------- fin de l'énoncé -------

J'ai donc réussi a répondre aux questions 1), 2), 4). Je vous donne mes résultats pour que vous me disiez rapidement si je ne fais pas fausse piste :

1) lim en +infini de f(x) = +infini
lim en -infini de f(x) = -infini
lim en 0+ de f(x) = 0
lim en 0- de f(x) = 0
lim en 1+ de f(x) = +infini
lim en 1- de f(x) = -infini

2) Dérivée : f'(x) = [2*x*exp(1/x)]/(x-1)-[x^2*exp(1/x)]/(x-1)^2-[exp(1/x)]/(x-1)

Ce qui me donne :

f croissante sur ]-infini ; 0[
f croissante sur ]0 ; (3-sqrt(5))/2 [
f décroissante sur ] (3-sqrt(5))/2 ; 1 [
f décroissante sur ]1 ; (3+sqrt(5))/2 [
f croissante sur ] (3+sqrt(5))/2 ; +infini[

4) Je pense que cette question était facile et ne mérite pas que je vous donne ma réponse.

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J'aurais donc besoin d'un peu d'aide pour les questions 3) et 5), qui me pose un peu problème ...

Merci à ceux qui pourront m'aider

Christelle


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[sirglorfindel]

Pour la question 1) : tu as fais une erreur sur la limite en 0+ :
En 0+ :
lim 1/x=+ infini et lim exp(X)/X² (quand X=1/x tend verx + infini) =+ infini
lim x-1= -1
Donc lim f(x)=- infini

2) OK

3) tu calcules les limites demandées :
En + infini : lim g = 1 lim h = 1 lim g+h = 2

En - infini : lim g = 1 lim h = 1 lim g+h = 2

De plus g(x)+h(x)=f(x)-x*exp(1/x)+x*exp(1/x)-x=f(x)-x...
Tu as donc que lim f(x)-x=2 en + et en - infini
Ceci signifie que y=x+2 est une asymptote à la courbe de f

5) Les inéquations ne sont pas très difficiles à démontrer et ensuite c'est comme à la question 3 :
g(x)+h(x) =f(x)-x > 2 (pour x>1) et tu as la position (C est au dessus de D)...
De même pour x<0
Pour l'intervalle ]0;1[, je pense que la démonstration est immédiate

[sirglorfindel]

Pour la question 1) : tu as fais une erreur sur la limite en 0+ :
En 0+ :
lim 1/x=+ infini et lim exp(X)/X² (quand X=1/x tend verx + infini) =+ infini
lim x-1= -1
Donc lim f(x)=- infini

2) OK

3) tu calcules les limites demandées :
En + infini : lim g = 1 lim h = 1 lim g+h = 2

En - infini : lim g = 1 lim h = 1 lim g+h = 2

De plus g(x)+h(x)=f(x)-x*exp(1/x)+x*exp(1/x)-x=f(x)-x...
Tu as donc que lim f(x)-x=2 en + et en - infini
Ceci signifie que y=x+2 est une asymptote à la courbe de f

5) Les inéquations ne sont pas très difficiles à démontrer et ensuite c'est comme à la question 3 :
g(x)+h(x) =f(x)-x > 2 (pour x>1) et tu as la position (C est au dessus de D)...
De même pour x<0
Pour l'intervalle ]0;1[, je pense que la démonstration est immédiate

[klemman]

Salut à toi sirglorfindel,

Tout d'abord, merci de ta réponse, qui a éclaircit beaucoup de points sur cet exercice, notamment au niveau des équivalents, que j'avais mal géré au niveau de la réponse à la question. J'ai trouvé où était mon erreur : une somme d'équivalents, sans le vouloir :marteau:

Ensuite j'ai réussi donc a régler la question 3, entrouvant chacune des limites, et en raisonnant donc comme tu m'y a invité, c'st parfait.

Seulement un problème subsiste :hein: . Je n'arrive pas à démontrer chacune des égalités du début de la question 5). Je me doute qu'il faut se servir du résultat de la question, c'est à dire que : [exp(u)-1] / u > 1 quelque soir u>0, et inversement ...

Peux-tu m'indiquer la marche à suivre ?

Merci :++:

[klemman]

Y'a-t-il quelqu'un qui n'aurrait pas vu mon message ?

S'il vous plait ...

[sirglorfindel]

Pour ta question 5, tu peux essayer de calculer g(x)-1 et h(x)-1.. Normalement, en posant u=1/x, tu dois retrouver les inéquations de la question 4 (il n'y a que l'avant dernière de la question 5 où j'ai du mal) :

Si x>1 : h(x)-1=x*(exp(1/x)-1)-1=(exp(u)-1)/u-1>0
g(x)-1=(x*exp(1/x)-x+1)/(x-1) et tu étudies le signe du numérateur et du dénominateur.

Si x<0 : h(x)-1<0 (comme avant)

[sirglorfindel]

Eventuellement pour : si x<0, g(x)<1, tu peux calculer g(x)-1, puis le dériver, faire le tableau de variations sur ]- infini;0[ : tu trouves que la fonction est décroissante et sa limite en -infini est 0- donc c'est toujours négatif.
Je pense qu'il y a plus simple mais je ne vois pas

[klemman]

Pour h(x) = x*(exp(1/x)-1), j'ai dit que h(x) était aussi égal à h(x)=(exp(1/x)-1)/(1/x) car " multiplication par x = division par (1/x) "

Et on retombe sur la forme de la question 4°)

Pour g je vais essayer ta méthode en espérant que quelqu'un trouve plus simple d'ici jeudi soir ;) parce que ta méthode a l'air plutot complexe ...

Masi merci beaucoup en tout cas sirglorfindel.

Tu me tiens au courant sur ma méthode pour l'inégalité avec h que j'ai donné au dessus ?

Merci :we:

[sirglorfindel]

c'est tout à fait ça pour h