Etude de fonction...

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 16:35

bonjour, je suis en mpsi et notre prof nousa donné notre troisieme DM...en 20jours de cours !! :marteau:

bref. il y a une fonction dont il faut etudier les variations...donc calculer la dérivée...??

la voici : f(x) = 2(e^x)ln(1+(e^-x))
on s'y est mis a plusieurs... on trouve comme dérivée :
f'(x)=f(x)-2/(1+(e^-x))
partant de la... ne pouvant trouver le signe...on derive une deuxieme fois :
f''(x)=f(x)-2/(1+(e^-x)²)
toujours pas de signe evident...

qqun pourrait-t-il nous éclairer ??? (la fonction est a étudier sur R)

de plus, quand on la rentre dans la calculatrice, pour x = 35 (environ), par la, la courbe fait un truc impressionnant...monte, descend, monte descend...ceci sur pas mal de calculatrice...est-ce normal egalement??

merci bcp de votre aide...

(comment fait on pour écrire de beaux calculs ??)

par **nox** » 18 Sep 2006, 16:45

JLN37 a écrit:la voici : f(x) = 2(e^x)ln(1+(e^-x))
on s'y est mis a plusieurs... on trouve comme dérivée :
f'(x)=f(x)-2/(1+(e^-x))

on est d'accord

JLN37 a écrit:partant de la... ne pouvant trouver le signe...

Ca doit être faisable...on peut se ramener à étudier le signe de ln(X) - 1 + 1/X sur ]1,+infini[ (on factorise par 2exp(x) et on pose X = 1+exp(-x))
C'est quand même plus sympa

JLN37 a écrit:de plus, quand on la rentre dans la calculatrice, pour x = 35 (environ), par la, la courbe fait un truc impressionnant...monte, descend, monte descend...ceci sur pas mal de calculatrice...est-ce normal egalement??

waip elle a une sale tronche chez moi aussi (matlab)

JLN37 a écrit:(comment fait on pour écrire de beaux calculs ??)

---> LateX

par **nox** » 18 Sep 2006, 17:01

Pour l'étude de signe de f' on peut se ramener à étudier le signe de ln(X) - 1 + 1/X sur ]1,+infini[ (on factorise par 2exp(x) et on pose X = 1+exp(-x))

C'est quand même plus sympa ;)

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 17:20

bien joué le coup de la variable...et dire qu'a 17 on a pa trouvé!!

et sinon lateX ??

par **nox** » 18 Sep 2006, 17:21

wé LateX, le grand le seul l'unique ^^

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=3414&highlight=latex

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 18:07

ok merci...latex c pr les boss!!

bref g essayer de factoriser comme tu le dit...mais ...

2exp(X)(ln(X)-1+1/X)...ca fait la meme chose que f'(x) ??

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 18:12

en fait :id: c bon...

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 18:23

en fait nn...

je vois pas du tout comment faire pour montrer que :

ln(X)-1+1/X > 0 ... snif...

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 19:48

snif...nox me fait la tete???

alors qqun d'autre, svp...

comment puis je faire pour trouver le signe de ln(X) - 1 + 1/X ??

merci d'avance

par **yos** » 18 Sep 2006, 20:03

JLN37 a écrit:... on trouve comme dérivée :
f'(x)=f(x)-2/(1+(e^-x))

C'est pas plutôt f'(x)=f(x)+2/(1+(e^-x)) ?
Compte tenu de (e^-x)'= - e^-x

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 20:14

si tu peux affirmer en etre sur et certain...je prend...mais g refait le calcul ( et il y a pas que moi...quelquefois....)

vérifie...et redis moi

par **yos** » 18 Sep 2006, 20:25

J'avais mal lu l'énoncé.
Mais tu as f(x)=2goh(x) avec h(x)=e^-x (décroissante) et

. Il suffit d'avoir les variations de g.

. Le signe du numérateur est immédiat si on applique l'inégalité classique

avec u=1/(1+x).

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 20:28

yeah...et juste...la premiere fraction au dessus de la grande barre...c des S ?

par **yos** » 18 Sep 2006, 20:35

Ce sont des x. Je n'arrive pas à règler la taille des caractères.

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 21:27

sauf erreur de ma part...je n'arive pas a retrouver f en developpant ce que tu m'a donné...tu en est sur? je te redonne f :

f(X)=2expX x (ln(1+exp(-X)))

ptet je me trompe...dis moi...

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 21:43

:hein: le prochain coup avant de parler, je reflechirai plus lgtps...
tu as raison...

par contre je ne vois pas ou venir avec l'inégalité :hum:

par **JLN37** » 18 Sep 2006, 21:56

je m'explique...je trouve a la fin :

-ln (1+x) < -x / 1+x

j'ai vérifié...il n'y a pas d'erreur de signe...enfin je ne crois pas...donc je ne sais pas trop comment faire...ptet que l'heure y est pr qqch...

merci de ton aide

par **nox** » 19 Sep 2006, 09:17

JLN37 a écrit:en fait nn...

je vois pas du tout comment faire pour montrer que :

ln(X)-1+1/X > 0 ... snif...

ba ché pa moi...par exemple :
ln(X) + 1/X - 1 > 0
ln(X) + 1/X > 1
X ln(X) + 1 > X (

)
X ln(X) - X > -1

la fonction à gauche c'est la primitive du log

par **nox** » 19 Sep 2006, 13:35

JLN37 a écrit:en fait nn...

je vois pas du tout comment faire pour montrer que :

ln(X)-1+1/X > 0 ... snif...

ba ché pa moi...par exemple :
ln(X) + 1/X - 1 > 0
ln(X) + 1/X > 1
X ln(X) + 1 > X (

)
X ln(X) - X > -1

la fonction à gauche c'est la primitive du log...donc c'est vite réglé apres

Alors par contre le résultat colle pas avec le graph trouvé, mais ce graph est tellement bizarroïde que je ne m'y fie pas trop, et je ne vois pas d'erreur dans mon raisonnement...

par **xon** » 19 Sep 2006, 13:45

Terrible ton exo.

En effet avec les indications données on arrive bien à montrer que la fonction est sensée être croissante, et pourtant quand on la trace on voit un gros n'importe quoi.

C'est que c'est un petit malin qui a choisi la fonction. En effet si tu regardes de plus près tu t'aperçoit qu'en changeant de variable tout de suite avec
X=exp(x) tu as une brave fonction 2*X*ln(1+1/X) que ta calculatrice arrive à tracer sans problème.
Par contre le fait de rajouter une exponentielle fait que tu dilate super rapidement ton axe des x et que du coup du amène ta calculette rapidement à la limite de sa précision numérique et là çà fait n'importe quoi!

Comme quoi il ne faut pas toujours faire confiance aux calculatrices

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