Etude de fonction

[yannvallet]

J'ai un BTS qui se présente comme sa :

f(x)=((racinede (x²))/x)+[(racinede(x-1)²)/(x-1)]+(racinede(x+1)²)/(x+1)

x appartient a R-{-1,0,1}

f(-1)=-1 f(0)=0 f(1)=1

Ma premiere question est comment peuvent ils écrire f de -1,0 et 1 alors qu'ils ne font pas parti de l'ensemble de définition puisqu'ils sont des valeurs interdites ?
Ensuit puis je supprimer les racines puisque se sont des racines de carré je pense que racine de x² = x non ? et que c'est valable pour chaque racine de la fonction
Ensuite ils me demande de montrer que f est une fonction impaire, je vais sans doute pouvoir trouver sa dans mes cours mes pourriez vous m'aider ?
La deuxième question est : Montrer que x est une fonction en escalier, je sais même pas ce que c'est, comment faire ?

Merci

Yann VALLET

[Julien S.]

Bonsoir Yann,

Non, ne signifie pas un ensemble qui va de -1 à 1, mais l'ensemble de tous les réels privé des points -1, 0, et 1, les points interdits donc comme tu le dis.

Et non, la racine carrée de x carré ne fait pas x mais sa valeur absolue:

.

Tu vois que c'est une fonction en escalier en la réécrivant

.



(d'après ta définition)



(d'après ta définition)



(d'après ta définition)



...si je me suis pas planté quelque part car je suis pas en grande forme...

Une fonction est dite impaire si -f(x)=f(-x) pour tout x dans l'ensemble de définition, f(x)=sin(x) en est un exemple.

Entre nous soit dit, ton problème correspond plutôt à un niveau "lycée" qu'à un niveau "supérieur".

Bon week-end,
Julien.

[rene38]

Bonsoir

...si je me suis pas planté quelque part car je suis pas en grande forme...

Plantage dans la lecture de la fonction ... ce qui entraîne une fonction affine par morceaux mais pas en escalier.

Je lis :
soit

d'où
x f(x)=-3 (*)
x=-1 => f(x)=-1 par définition
-1 f(x)=-1
----------------------------------
Explication : pour -10 donc |x+1|=x+1 et donc |x+1|/(x+1)=1
----------------------------------
x=0 => f(x)=0 par définition
0 f(x)=1 (*)
x=1 => f(x)=1 par définition
x>1 => f(x)=3 (*)

(*) : explications semblables à celle donnée pour -1<x<0

et les deux résultats : impaire et en escalier sont immédiats.

[Julien S.]

tout à fait correct rené, toutes mes excuses!!

[yannvallet]

Ok, merci les gars pour ces explications

[yannvallet]

Ok René38, j'ai bien compris ta démonstration sur [-1;1]
Mais pourrais tu me la faire pour x<-1, par ce que le je comprend pas comment tu trouves -3 ?
Et aussi j'ai lu le postprécedent pour prouver qu'elle impaire il faut que
-f(x)=f(-x), je suppose que je doit prendre une valeur pour x et montrer l'égalité, mais est-ce qu'une seule valeur suffit ou dois je en prendre 4 ?
avec x<-1 ; -1
De plus je visualise ce que sa donne en graphique et c'est vrai que sa ressemble à un escalier, mais mathématiquement qu'est-ce qui prouve qu'elle peut être qualifié de la sorte ?

Merci

[yannvallet]

J'ai réfléchi et je vais tenter de répondre tout seul, en fait pour prouver qu'elle est impaire, une seule valeur de x devrait suffir car la fonction et soit paire soit impaire, mais pas les deux et cela qu'elle que soit la valeur de x
C'est sa bien sa ?

Et pour prouver qu'elle est en escalier en fait c'est la demonstration de René38, mais sur chaque niveau de l'escalier, et c'est tout.

Par contre je comprend pas comment y peuvent marquer f(-1)=-1 alors que
-1 ne fait pas parti du domaine de définition ?

[rene38]

Mais pourrais tu me la faire pour x1, f(-x)=3=-f(x)
si x=-1, f(x)=-1 et puisque -x=1, f(-x)=1=-f(x)
si -1<x<0, f(x)=-1 et puisque 0<-x<1, f(-x)=1=-f(x)
dans tous les cas, f(-x)=-f(x) ce qui est la définition d'une fonction impaire.

De plus je visualise ce que sa donne en graphique et c'est vrai que sa ressemble à un escalier, mais mathématiquement qu'est-ce qui prouve qu'elle peut être qualifié de la sorte ?

La fonction est constante sur chacun des intervalles ]-oo; -1[, [-1;0[, {0}, ]0;1] et ]1;+oo[
C'est ce qu'on appelle une fonction en escalier.

[yannvallet]

Merci René de m'avoir explqué toutes ces choses en des termes simples et précis, sa va m'être super utile, car sa me donner une note dans mon dossier scolaire de BTS par correspondance.
Merci beaucoup