Etude fonction - Sup TSI

[LeGioon]

Bonjours,
je viens demander votre aide car je n'arrive pas a démarrer un exercice, voici l'énoncer :

" On pose fn(x) = ; montrer que fn(x) = 0 admet une unique solution an dans IR+ et calculer la limite de (an) "

Voilà je ne sais pas par ou commencer et comment m'y prendre et quelle outils utiliser, donc si vous pouviez me donner un peut d'aide !

Dans l'attente d'une réponse, cordialement.

[zygomatique]

salut

théorème des valeurs intermédiaires ....

[zygomatique]

f(0) = -1

ensuite

[LeGioon]

Merci, je vais essayer !

[Ben314]

..." On pose fn(x) =

Pas clair du tout ton truc : c'est quoi qu'il y a dans les points de suspension ?

- Soit c'est une alternance de + et -, et ça devrait se terminer par ou alors il faudrait que l'énoncé précise qu'on ne considère que des impairs.

- Soit c'est que des + et ça aurait pas été con d'en mettre un ou deux de plus pour que se soit compréhensible...

[deltab]

Bonsoir,

f(0) = -1

ensuite

Erreur!
Les seules réelles solutions possibles de sont et , valeurs exclues.

[deltab]

Bonsoir,

f(0) = -1

ensuite

Erreur!
Les seules solutions réelles possibles de sont et -, valeurs exclues.

[LeGioon]

Finalement j'ai utilisé le fait que la dérivé de fn(x) est strictement positive sur IR+. Donc fn(x) est strictement continue et croissante sur IR+ donc elle réalise une bijection de IR+ -> [-1;+] donc elle admet un unique antécédent an tel que fn(an) = 0.

Pour la limite j'ai un peu plus de mal, apparemment il faudrait utiliser un Pn+1(x) puis démontrer que cette suite est décroissante et passer au limite dans cette même équation...

Effectivement Ben314 ce n'est pas très claire mais l'exercice est posé comme cela ...

Cordialement

[LeGioon]

Excusez moi il y a comme une erreur de signe dans l'énoncer je viens de m'en rendre compte ...

C'est fn(x) =

[Ben314]

Excusez moi il y a comme une erreur de signe dans l'énoncer je viens de m'en rendre compte ...

C'est fn(x) =

Là, les points de suspensions sont nettement plus compréhensible et l'énoncé est nettement plus interessant vu qu'on ne sait pas résoudre l'équation de façon exacte.

Concernant la solution, ce n'est pas compliqué :
1) Il est clair que f'>0 sur ]0,+oo[ et, comme f(0)=-11/2 fixé, la limite de f_n(a) lorsque n->oo : tu en déduit un encadrement de a_n qui te donne la limite.

[LeGioon]

C'est à dire evaluer f_n(1/2) ? Trouver a quoi c'est égale ?

[Ben314]

C'est à dire evaluer f_n(1/2) ? Trouver a quoi c'est égale ?

Oui, le calculer, si tu préfère.
Ici, le but c'est surtout de trouver son signe : vu que les fonction f_n sont croissante tou a tel que fn(a)0 te donne un majorant.
Il y aurait pas mal d'autre méthodes pour trouver la limites des an, par exemple de commencer par montrer qu'elle est décroissante (saurait tu le faire ?) ce qui assurerais que la limite existe.

[Black Jack]

2)

x^n + x^(n-1) + ... + x est la somme de n termes en progression géométrique de raison x et de 1er terme = x --->

x^n + x^(n-1) + ... + x = x.(x^n - 1)/(x - 1) (avec x différent de 1)

L'équation devient donc :
x.(x^n - 1)/(x - 1) = 1 (avec x >= 0 et différent de 1)
x.(x^n - 1) = (x-1)

x^(n+1) - 2x + 1 = 0

Pour n --> +oo, il ne peut pas y avoir de solutions réelles > 1 car alors x^(n+1) > > 2x et donc x^(n+1) - 2x + 1 > 0

Donc la solution (qui existe comme montré dans la partie 1 de l'exercice) est forcément pour 0 < x < 1 et alors x^(n+1) < < 2x pour n --> +oo

Pour n --> +oo, l'équation est pratiquement équivalente à -2x + 1 = 0
et donc la solution tend vers 1/2 pour n --> +oo
*****

Il y a probablement une approche plus jolie, mais soit.

:zen:

[Ben314]

A mon avis, le problème, c'est le "...l'équation est pratiquement équivalente à..." : sur une copie d'exam, ça passe pas ça...
Mais en utilisant par exemple la monotonie de la fonction x^(n+1) - 2x + 1, tu peut remplacer ton "pratiquement équivalente" par un encadrement : ça fait plus sérieux... :zen:

[deltab]

Bonjour,

A mon avis, le problème, c'est le "...l'équation est pratiquement équivalente à..." : sur une copie d'exam, ça passe pas ça...
Mais en utilisant par exemple la monotonie de la fonction x^(n+1) - 2x + 1, tu peut remplacer ton "pratiquement équivalente" par un encadrement : ça fait plus sérieux... :zen:

On peut montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur vers . On aura alors : . La suite donnée est positive décroissante, alors où . est donc solution de ce qui donne

[Ben314]

ça effectivement, c'est nettement plus sérieux,
mais je suis prêt à parier deux cacahuètes contre un camembert que LeGioon n'a pas encore vu la notion de convergence uniforme.

[zygomatique]

pour revenir à la réponse de Black Jack :: ta démonstration est correcte si tu rédiges correctement ::

les racines appartiennent à l'intervalle [0, 1[ et vérifient :: [quote]x_n^n = 2x_n + 1[TEX]

en faisant tendre n vers l'infini alors les deux membres tendent vers 0 (puisqu'ils sont égaux et que le premier tend vers 0) donc x(n) tend vers 1/2 ....

[deltab]

Bonjour

pour revenir à la réponse de Black Jack :: ta démonstration est correcte si tu rédiges correctement ::

les racines appartiennent à l'intervalle [0, 1[ et vérifient ::

en faisant tendre n vers l'infini alors les deux membres tendent vers 0 (puisqu'ils sont égaux et que le premier tend vers 0) donc x(n) tend vers 1/2 ....

Erreur de frappe:

Attention, l'implication est erronée comme le prouve , il fallait y ajouter

[zygomatique]

Bonjour


Erreur de frappe:

Attention, l'implication est erronée comme le prouve , il fallait y ajouter

effectivement ....

[Ben314]

les racines appartiennent à l'intervalle [0, 1[ et vérifient :

en faisant tendre n vers l'infini alors les deux membres tendent vers 0 (puisqu'ils sont égaux et que le premier tend vers 0) donc x(n) tend vers 1/2 ....

ça fonctionne à condition d'avoir montré que, non seulement x_n est dans [0,1[, mais qu'il est (à partir d'un certain rang) dans un certain [0,b[ avec b0 fixé) et en déduire sans le moindre argument supplémentaire (avec la définition même d'une limite ) que xn tend vers 1/2.

Juste pour évaluer la longueur de la preuve, en rédigeant absolument tout bien comme il faut, ça donnerais :

a) La fonction est dérivable sur et, pour tout , donc est strictement croissante sur .
Or donc il existe tel que, pour tout et donc (car est strictement croissante)
Les deux points ça dessus montrent (par définition d'une limite) que