Etude de fonction et suite numérique

[Joe Black]

Bonjour.

J'entre en deuxième année de prépa éco et je bloque depuis plusieurs jours sur un DM à faire pendant les vacances d'été. :triste:

Je recopie l'énoncé de l'exercice en entier au cas où la solution à mon problème réside dans une question antérieure ou postérieure.

SUJET :

On note f la fonction définie sur R par si et

1) Montrer que f est continue à gauche en 0
2) Montrer que f est dérivable à gauche en 0
3) Dresser le tableau de variations de f sur R (limites comprises)
4) Justifier, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 l'existence d'un unique réel strictement positif noté vérifiant
5) Montrer que, pour tout réel
6) Etablir que
7) En déduire un encadrement de , puis la valeur de la limite de quand n tend vers
8) Montrer que la limite de quand n tend vers est

MES RECHERCHES

1) Pas de problème, on calcule la limite de f en 0 et on trouve 0. Pour cela, on fait un changement de variable X=1/x et on utilise la limite remarquable de quand x tend vers moins l'infini et qui est 0.

2) On calcule la limite du taux d'accroissement en et en bricolant un peu l'expression on est amené à réutiliser la même limite remarquable que précédemment.

3) On calcule la dérivée de f et on étudie son signe. On en conclut que f est décroissante sur et et croissante sur .
Les limites sont 1 en moins l'infini, -exp(-2) en -0.5, 0 en , en et 1 en

4) On utilise le TVI sur pour montrer ce qui est demandé.

5) On construit la fonction différence que l'on dérive. On en déduit que est décroissante et que donc que la différence est toujours négative.

6) JE BLOQUE A CETTE QUESTION. Je ne vois pas trop par où commencer. J'ai essayé d'utiliser le fait que mais cela ne m'avance à rien. Je suis tenté d'utiliser les réponses aux questions 4 et 5 mais je ne vois pas comment. :mur:

Pouvez-vous m'éclairer SVP ?

Merci d'avance. :happy2:

Joe Black

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour.

J'entre en deuxième année de prépa éco et je bloque depuis plusieurs jours sur un DM à faire pendant les vacances d'été. :triste:

Je recopie l'énoncé de l'exercice en entier au cas où la solution à mon problème réside dans une question antérieure ou postérieure.

SUJET :

On note f la fonction définie sur R par si et

1) Montrer que f est continue à gauche en 0
2) Montrer que f est dérivable à gauche en 0
3) Dresser le tableau de variations de f sur R (limites comprises)
4) Justifier, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 l'existence d'un unique réel strictement positif noté vérifiant
5) Montrer que, pour tout réel
6) Etablir que
7) En déduire un encadrement de , puis la valeur de la limite de quand n tend vers
8) Montrer que la limite de quand n tend vers est

MES RECHERCHES

1) Pas de problème, on calcule la limite de f en 0 et on trouve 0. Pour cela, on fait un changement de variable X=1/x et on utilise la limite remarquable de quand x tend vers moins l'infini et qui est 0.

2) On calcule la limite du taux d'accroissement en et en bricolant un peu l'expression on est amené à réutiliser la même limite remarquable que précédemment.

3) On calcule la dérivée de f et on étudie son signe. On en conclut que f est décroissante sur et et croissante sur .
Les limites sont 1 en moins l'infini, -exp(-2) en -0.5, 0 en , en et 1 en

4) On utilise le TVI sur pour montrer ce qui est demandé.

5) On construit la fonction différence que l'on dérive. On en déduit que est décroissante et que donc que la différence est toujours négative.

6) JE BLOQUE A CETTE QUESTION. Je ne vois pas trop par où commencer. J'ai essayé d'utiliser le fait que mais cela ne m'avance à rien. Je suis tenté d'utiliser les réponses aux questions 4 et 5 mais je ne vois pas comment. :mur:

Pouvez-vous m'éclairer SVP ?

Merci d'avance. :happy2:

Joe Black

Hello,
Tu t'aperçois vite que

[Joe Black]

Hello,
Tu t'aperçois vite que

En effet ! Merci beaucoup pour votre réponse aussi rapide.
J'ai ainsi pu terminer cette question en utilisant le résultat de la précédente.
Bonne journée.