Etude de fonction - Intégrale - Sup TSI

[LeGioon]

Bonjours,
je viens demandé votre aide car je n'arrive pas a démarré un exercice, voici l'énoncer :

Etudier et représenter f(x) =

Rien de très compliqué vous allez me dire mais je viens de commencer le chapitre sur l'intégration et je ne sais pas comment m'y prendre ...
Doit-je commencer par calculer l'intégrale et faire l'étude de la fonction trouvé ?
Qu'entend t-on par "Etudier" ? Es qu'il me suffit de faire une étude des variations et des limites ?

Dans l'attend d'une réponse, cordialement.

[Sourire_banane]

Bonjours,
je viens demandé votre aide car je n'arrive pas a démarré un exercice, voici l'énoncer :

Etudier et représenter f(x) =

Rien de très compliqué vous allez me dire mais je viens de commencer le chapitre sur l'intégration et je ne sais pas comment m'y prendre ...
Doit-je commencer par calculer l'intégrale et faire l'étude de la fonction trouvé ?
Qu'entend t-on par "Etudier" ? Es qu'il me suffit de faire une étude des variations et des limites ?

Dans l'attend d'une réponse, cordialement.

Salut,

D'abord voir où c'est défini : Si l'intégrale converge pour x tendant vers l'infini. Dans le reste des cas, tu intègres sur un segment car rien ne pose problème en zéro.
Par étudier je suppose que oui, il faut faire une étude de fonction.

[LeGioon]

Salut,

D'abord voir où c'est défini : Si l'intégrale converge pour x tendant vers l'infini. Dans le reste des cas, tu intègres sur un segment car rien ne pose problème en zéro.
Par étudier je suppose que oui, il faut faire une étude de fonction.

Très bien merci je vais essayer comme cela.

[deltab]

Bonsoir.

Très bien merci je vais essayer comme cela.

.

Quelle est la dérivée de f(x)? Quel est le signe de sa dérivée. Le fait que f admette une limite ou pas (convergence ou divergence de va être une propriété de f . On peut montrer à partir de l'intégrale que .

[zygomatique]

salut

cours de terminale ::

par définition la fonction est l'unique primitive de la fonction qui s'annule en 0

donc trivialement F' = f

....

[WillyCagnes]

bjr
pour voir la courbe et l'integration
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int%281%2F%283%2Bcos%28x%29%29dx

[zygomatique]

vu que 1/4 < f(x) < 1/2 on en déduit que x/4 < F(x) < x/2 ...

ça m'étonnerait qu'on obtienne ce que tu nous montre .....

[LeGioon]

Donc voilà ce que j'ai fait pour le moment, l'aimerais avoir vos avis et si vous pouviez me dire si mes calculs sont bon.
- J'ai commencer par calculer la primitive en faisant un changement de variable :
f(x) = (avec x= tan(t/2) t = 2arctan(x) donc dt = et cos(t) = )
= = = arctan(x)

- Ensuite j'ai donc trouvé que la dérivée était égale a : . Elles est donc strictement posititive sur R.
J'en conclu donc que la fonction f(x) est strictement croissante sur R.

Merci, cordialement

[zygomatique]

cours de terminale ::

par définition la fonction est l'unique primitive de la fonction qui s'annule en 0

donc trivialement F' = f

or f est strictement positive dont F est strictement croissante ....

de plus f(x) >= 2 donc F(x) >= 2x et lim F(x) = = +oo quand x --> +oo


on peut aussi remarquer que f est périodique et paire donc F est impaire ....

[LeGioon]

cours de terminale ::

par définition la fonction est l'unique primitive de la fonction qui s'annule en 0

donc trivialement F' = f

or f est strictement positive dont F est strictement croissante ....

de plus f(x) >= 2 donc F(x) >= 2x et lim F(x) = = +oo quand x --> +oo


on peut aussi remarquer que f est périodique et paire donc F est impaire ....

D'accord mais je n'arrive pas a voir pourquoi elle s'annule en 0.

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ce que tu ne comprend pas bien et c'est normal vu que ça risque d'être la première fois, c'est que le but de l'exercice est d'étudier la fonction F sans chercher à l'exprimer plus "simplement".

Ici, on arrive très facilement à trouver le sens de variation et les limites sans exprimer de F différement.
On pourrait exprimer F sans le symbole "intégrale", mais c'est plutôt compliqué et sans réel intérêt pour étudier la fonction.

P.S. : Dans ton calcul pour expliciter F (sans intégrale), le résultat est faux : lors de ton changement de variable, tu as oublié de changer les bornes de l'intégrale et ce n'est pas étonnant vu que la nouvelle variable que tu as introduite, à savoir x(=tan(t/2)) était déjà utilisée pour autre chose dans la formule (comme borne de l'intervalle d'intégration).

Donc il faudrait plutôt prendre u=tan(t/2) puis dire que, lorsque t varie de 0 à x, la variable u varie de 0 à tan(x/2).
C'est interessant que tu fasse quand même le calcul, juste pour constater que ce que tu obtient au final, c'est pas terriblement utile...

P.S.2 : En plus, dans ton calcul, pour pouvoir poser u=tan(t/2) avec t qui varie de 0 à x, il faut que x soit entre -pi et pi, sinon ça déconne. Donc ça n'est d'aucune aide pour trouver par exemple les limites en +oo et -oo