Etude d'applications données par séparation de cas

[ThoralfArhbard]

Bonsoir à tous,

Je sèche sur l'exercice suivant:

On note
si
si
si

On note

1) Montrer que est correctement définie et calculer pour tout
2) Préciser et et tracer leurs représentations graphiques.

Ce que j'ai fait:

1) J'ai considéré une partie de . On a non vide car il existe tq (je ne suis pas certain de cette justification...). De plus, on peut minorer par par exemple.
On sait que toute partie non vide et minorée de admet une borne inférieure qu'on note .
Et après ? Je sèche...

[tournesol]

Tu dois justifier la minoration de E par y-1 .
D'abord tu dois dessiner la représentation graphique de f et l'utiliser pour démontrer rigoureusement que
x-1f(x)x+1
Soit x tel que f(x)>y alors x+1>y et donc x>y-1

[tournesol]

pour la question 2 , est ce que ton prof accepte une justification graphique en utilisant les représentations graphiques de f , g , et la droite d'équation y=x ?

[ThoralfArhbard]

Tu dois justifier la minoration de E par y-1 .
D'abord tu dois dessiner la représentation graphique de f et l'utiliser pour démontrer rigoureusement que
x-1f(x)x+1
Soit x tel que f(x)>y alors x+1>y et donc x>y-1

Je t'avoue m'être contenté d'une justification simplissime: par définition de . Donc peut être minoré par n'importe quel étant donné que vaut pour tout . A fortiori, cela vaut pour .

Je suis passé par la représentation graphique, c'est un réflexe quasi immédiat que j'ai. Mais dans ce cas, ça ne m'a gère aidé à répondre aux questions.

pour la question 2 , est ce que ton prof accepte une justification graphique en utilisant les représentations graphiques de f , g , et la droite d'équation y=x ?

Pourrais-tu me préciser ton idée stp ?

[tournesol]

J'aimerais t'aider mais ça me semble trop long à expliquer et je ne sais pas envoyer une video sur un site dédié .
Tout ce que je peux te dire , c'est que ton argument f(x)>y suppose que l'image réciproque d'un ensemble minoré est un ensemble minoré.

[GaBuZoMeu]

Je t'avoue m'être contenté d'une justification simplissime: par définition de . Donc peut être minoré par n'importe quel étant donné que vaut pour tout . A fortiori, cela vaut pour .

La définition de dépend de ; il faudrait plutôt le noter . Ta phrase "Donc peut être minoré par n'importe quel étant donné que vaut pour tout " est par conséquent complètement fausse.

[ThoralfArhbard]

Tout ce que je peux te dire , c'est que ton argument f(x)>y suppose que l'image réciproque d'un ensemble minoré est un ensemble minoré.

Je te remercie. Je suis désolé mais j'ai du mal à exploiter cette supposition...

La définition de dépend de ; il faudrait plutôt le noter . Ta phrase "Donc peut être minoré par n'importe quel étant donné que vaut pour tout " est par conséquent complètement fausse.

Pourtant, l'expression vaut pour tout . Toutes les images de sont donc minorées par , donc par .
Je suis sincèrement désolé mais je ne vois pas où est l'erreur dans ce raisonnement...

[GaBuZoMeu]

Pourtant, l'expression vaut pour tout .

Qu'est-ce que ça veut dire ? Pour moi, ça ne veut rien dire.
Et je peux t'assurer qu'aucun correcteur ne trouverait que ça fait sens.

Alors, si tu vois clairement ton raisonnement, essaie de le formuler clairement.

[tournesol]

1)...et calculer g(y) pour tout y appartenant à R.
Donc l'expression f(x)>y vaut pour tout y .
Maître Enfoiros de Môvèse Foi

[ThoralfArhbard]

Pourtant, l'expression vaut pour tout .

Qu'est-ce que ça veut dire ? Pour moi, ça ne veut rien dire.
Et je peux t'assurer qu'aucun correcteur ne trouverait que ça fait sens.

Alors, si tu vois clairement ton raisonnement, essaie de le formuler clairement.

Je reprends les choses clairement.
On a pour tout

Je comprends est borne inférieure de l'ensemble . Or si appartient à cet ensemble, alors son image est minorée par . Donc à la question 1, lorsqu'on me demande de calculer pour tout , je vais devoir traiter les tq, et ce, pour tout .
Je ne sais pas si je suis plus clair mais si cela ne fait pas sens, pourrais-tu me dire ce qui fait sens ? Car il semblerait que je comprenne mal l'énoncé. Cela pourrait donc expliquer pourquoi je n'arrive pas à réaliser cet exercice.

[mathelot]

je propose de tracer la courbe de f dans un repère orthonormé.
Puis placer une valeur y sur l'axe des ordonnées strictement positives.
En déduire l'image réciproque de par f.
L'intervallese lit sur l'axe des ordonnées,l'intervalle se lit
sur l'axe des abscisses.
En déduire x=g(y).

Même chose pour y<0 puis y=0. Il faut donc considérer trois cas pour définir g.

remarque: on trouve que g est l'inverse de f à droite pour la composition
des applications, ce qui correspond à "f surjective".
f et g sont croissantes. g strictement croissante. Cette définition de g
permet d'attribuer à f une inverse à droite. C'est un procédé que l'on retrouve
en probabilité avec les fonctions de répartition.

[mathelot]

f est continue, croissante (au sens large) , surjective.

Pour tout il existe tel que




d'où g
On calcule directement .



g est donc bien définie.

pour y>0 g(y)=....
pour y=0 g(y)=...
pour y<0 g(y)=...

[mathelot]

Pour un sous-ensemble A de , on définit


est constitué des antécédants d'éléments de A par f.

détermination de g
1er cas y>0
d'où
en effet y=x-1 soit x=y+1
2eme cas y<0
d'où
en effet y=x+1 soit x=y-1
3eme cas y=0
d'où

g est donc définie en trois cas.
Je te laisse calculer et par disjonction des cas.

[ThoralfArhbard]

je propose de tracer la courbe de f dans un repère orthonormé.
Puis placer une valeur y sur l'axe des ordonnées strictement positives.
En déduire l'image réciproque de par f.
L'intervallese lit sur l'axe des ordonnées,l'intervalle se lit
sur l'axe des abscisses.
En déduire x=g(y).

Même chose pour y<0 puis y=0. Il faut donc considérer trois cas pour définir g.

Je te remercie très vivement pour ton aide. J'ai appliqué tes conseils.
J'avais déjà tracé la courbe. J'ai pris une valeur y sur l'axe des ordonnées strictement positives: .
On a alors . En testant les valeurs possibles de , on se rend compte que vaut pour . J'en déduis donc que . .
Pour , je trouve . Donc .
Si je prends , je tombe sur .

Dans les trois cas, je tombe sur:




Pour calculer pour tout y, suffit-il d'indiquer les trois intervalles que j'ai indiqués (via ?

J'ai quand même l'impression qu'il y a quelque chose qui cloche car j'ai envie de répondre:

Pour
Pour
Pour mais cela ne correspond pas à ce que tu as indiqué...

Par contre, en suivant tes indications, je trouve pour:
,
,
.

[mathelot]

Bonsoir,
l'équation de la courbe de f pour est :
y=x-1
On peut donc calculer x l'antécédent de y par f: y+1=(x-1)+1 soit x=y+1
dès lors,
d'où pour


l'équation de la courbe de f pour est :

On peut donc calculer l'antécédent de y: soit
dès lors,
d'où pour


pour donc

[mathelot]

En résumé





Calcul de :


d'où


f est inversible à droite pour la composition des applications. Elle est donc surjective (*).

Calcul de :


(*) en effet , pour tout

y est l'image de g(y) et l'application f est donc surjective.

[ThoralfArhbard]

Merci beaucoup Mathelot pour ton aide. J'ai repris tout ça de mon côté, je tombe sur les mêmes résultats que toi.