Est-il possible de résoudre la différentielle suivante?

[fab24]

Bonjour,
je souhaiterais résoudre l'équation différentielle suivante: y'={x-y}^0.5
Une solution existe pour x>= y et est unique pour x>y. Cependant l'équation ne semble être ni séparable ni exacte et je ne trouve pas de facteur d'intégration pour la rendre exacte. Je ne pense pas non plus qu'une linéarisation aide à résoudre le problème (ce sont les seules méthodes de résolution que je connaisse). Existe-t-il un moyen de résoudre cette équation différentielle ?

merci

[arnaud32]

et si tu poses z=x-y?

[JeanJ]

Bonjour fab24

Les fonctions y(x) solutions de cette équation ne peuvent pas s'écrire directement avec un nombre fini de fonctions élémentaires. Il faut faire appel à une fonction spéciale, la fonction de Lambert W(X).
y = x -( W(X) )² avec X = -exp(2x+C)
C = constante
Plus simplement, on peut donner les solutions sous forme paramétrique, avec un paramètre z ;
x = (1/2)( ln(z)-z+c )
y = (1/2)( ln(z)-z+c ) -z²
avec c=constante.

Malheureusement, il ne semble pas possible de mettre en pièce jointe la feuille de calculs conduisant à ces résultats. Si besoin, contacte moi par la messagerie privée pour que je t'envoie cette page.

ATTENTION : Les résultats ci-dessus sont faux. La correction est faite dans mon message suivant (19h 51)

[fal]

Bonjour,
y'={x-y}^0.5
on peut ecrire y'² + y=x

[Black Jack]

Bonjour fab24

Les fonctions y(x) solutions de cette équation ne peuvent pas s'écrire directement avec un nombre fini de fonctions élémentaires. Il faut faire appel à une fonction spéciale, la fonction de Lambert W(X).
y = x -( W(X) )² avec X = -exp(2x+C)
C = constante
Plus simplement, on peut donner les solutions sous forme paramétrique, avec un paramètre z ;
x = (1/2)( ln(z)-z+c )
y = (1/2)( ln(z)-z+c ) -z²
avec c=constante.

Malheureusement, il ne semble pas possible de mettre en pièce jointe la feuille de calculs conduisant à ces résultats. Si besoin, contacte moi par la messagerie privée pour que je t'envoie cette page.

Bonjour Jean,

Es-tu sûr de ton coup ?
Je trouve des solutions paramétriques qui ressemblent presque aux tiennes ...
Si j'essaie les tiennes dans un tableur (numériquement), elles ne semblent pas convenir.

En posant y' = z, j'aboutis à :
x = -2z - 2.ln|1-z| + C
y = -z² - 2.(z + ln|1-z|) + C

soumises aux conditions : z >= 0 mais différent de 1.
(donc on peut donner des valeurs différentes à C sur [0 ; 1[ et sur ]1 ; +oo[

Il y a en plus la solution y = x + 1 (qui est hors du champ des solutions paramétriques) qui convient.

Sauf erreur de ma part, ces solutions semblent convenir (essais numériques par tableur)


Mais connaissant ta rigueur habituelle, je me dis que c'est peut-être moi qui me trompe.


:zen:

[JeanJ]

Bonjour Black Jack

tu as tout à fait raison : j'ai fait une erreur dès le début de mon calcul.
Après correction, je trouve la même chose que toi :
x = -2z - 2.ln|1-z| + C
y = -z² - 2.(z + ln|1-z|) + C
Du coup, l'expression explicite de y(x) était aussi erronnée. Après correction, elle devient :
y = x -(1 + W(X) )² avec X = exp((-x+C)/2)
Merci d'avoir signalé cette grossière erreur!

[JeanJ]

Petite remarque :
la solution particulière y = x-1 n'est pas absente dans la forme explicite
y = x -(1+ W(X) )² avec X = -exp(2x+C)
en effet elle est obtenue pour C tendant vers -infini, car on a alors X=0 et W(X)=0
et y = x -(1+0)² = x-1