B(X,Y) est complet

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 09:35

Bonjour,
je cherche à montrer que l'ensemble des fonctions bornées B(X,Y) muni de la distance uniforme est complet, sachant que Y est complet.

j'ai pris une suite de cauchy

d'ou

est de cauchy dans Y, donc converge vers une limite l...

et là je vois plus trop ce que je dois faire...
Merci d'avance

par **yos** » 15 Sep 2007, 09:39

Pythix a écrit:d'ou est de cauchy dans Y, donc converge vers une limite l...

C'est plutôt :
pour chaque

de

,

est de Cauchy dans Y complet donc converge vers une limite

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 09:41

bonjour

attention à ce que tu écris

u n de cauchy dans B c 'est l 'hypothèse

qu elle converge c 'est ce que tu veuxmontrer ....

pour x fixé dans X

u n ( x) est de cauchy dans Y

car ll un (x) - up(x) ll =< sup ll ll ( pour moi ce sont des ll ll et non des l l)

or Y complet donc un(x) converge vers un certain u(x) dans Y

reste à finir

u bornée? et un converge vers u pour la norme sup ? ( c est simple)

par **Lierre Aeripz** » 15 Sep 2007, 10:00

Voici le plan classique d'une démonstration de complétude :

On prend une suite de Cauchy
On construit ce qui sera la limite
On montre que l'objet construit est bien dans l'ensemble étudié
On montre que la suite converge bien vers cette limite (NB : ceci suffit à prouver le 3ème point si l'on sait que l'ensemble est fermé.)

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 10:18

oui j'ai pas relu ce que j'ai tapé, c'est bien u_n(x) qui converge vers l(x).

il me reste donc à montrer que u_n converge (uniformément ou simplement?) vers l(x) et que l(x) est bien dans B(X,Y) ?

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 10:23

u doit converger vers l uniformément bien sûr

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 10:29

c'est ce qui parait s'imposer oui, par contre je vois pas bien pourquoi?
pour conclure que u_n converge vers l ?
Pour dire que la convergence se fait dans l'ensemble ?

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 10:38

pour epsilon

il existe N tels que pour

n,p> N et pour tout x

ll un(x) -up(x) ll < epsilon

n fixé p ->+infini on obtient

n>N pour tout x ll un(x) -l(x) ll =< epsilon

soit

sup ll un (x) -l(x)ll =< epsilon

et exactement la cv uniforme de un - l vers 0

puis sup ll l (x) ll =< sup ll un(x) ll +epsilon assure que l est borné

et l'inégalité précédente dit exactement u converge vers l au sens de la norme infinie

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 10:46

merci !
dernière question, peut on dire que si X est compact
comme C(X,Y) incluse dans X alors cette dernière est incluse et fermée dans B(X,Y) ?

et donc C(X,Y) est complet?

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 10:51

je ne comprends pas C(X,Y) incluse dans X

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 10:57

C(X,Y) est l'ensemble des fonctions continues de X

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 10:57

c est inclus dans X ??

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 11:08

euh... ben la question est :
on suppose désormais que X est compact. Montrer que C(X,Y) est inclus dans B(X,Y) et que C(X,Y) est une partie fermée de B(X,Y).

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 11:18

ben si c'est pas inclus dans X comment ca pourrait l'etre dans B(X,Y) ?

par **yos** » 15 Sep 2007, 12:41

Allo Houston, on a un problème.

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 12:43

rogers rogers l'appareil n'est plus sous contrôle

meday meday il faut penser à s 'éjecter

par **yos** » 15 Sep 2007, 12:57

X est l'ensemble de départ des fonctions qui appartiennent à B(X,Y) ou à
C(X,Y) donc il n'y a pas de relation d'inclusion entre les deux.

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 15:34

oula, j'ai honte....
donc on peut dire que f en tant qu'application continue sur un compact est bornée,
et après pour montrer que C(X,Y) est fermé je vois pas trop... peut etre avec l'uniforme continuité (Heine) ?

par **fahr451** » 15 Sep 2007, 15:49

une limite uniforme de fonctions continue est continue ce qui assûre le caractère de C°

par **Pythix** » 15 Sep 2007, 16:56

je n'ai pas vu cette propriété en cours

B(X,Y) est complet

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