Espérance, variance de variables aléatoires continues

[sauvezmonannee]

Bonjour,

Voici l'exercice que je n'arrive pas à faire :

X est une variable aléatoire suivant la loi normale, de paramètres µ = 2 et s^2=9
W est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1/3 : Exp(1/3) avec Cov( X,W) = 1

Evaluer E(X+2), Var ( 2 X + 3), E(X+W), Var( X + W)

J'aurai besoin du détail de la méthode, je ne sais pas comment commencer.

Merci d'avance

[pascal16]

E(X+2), Var ( 2 X + 3) : pour ces deux, pas de problème, tu pars de la définition sous forme d'intégrale et un changement de variable donne la réponse.

[tournesol]

et

[Sylviel]

Bonjour,

il faut avoir en tête que l'espérance est linéaire (ce qui te donne E(X+2) et E(X+W) )
que la variance est une mesure de l'étalement donc invariante par translation
(d'où Var(X+b) = Var(X))
et que la variance est homogène à un carré, donc
Var(aX) = a^2 X (tu peux maintenant calculer Var(2X+3).
Finalement, toujours par analogie au carré tu as la formule
Var(X+Y) = Var(X) + 2 cov(X,Y) + Var(Y).

[sauvezmonannee]

Merci beaucoup !

[sauvezmonannee]

Bonsoir,

Je reviens vers vous avec une nouvelle question sur les mêmes thèmes :

Une entreprise fabrique et distribue des pneus pour automobiles.
Aujourd'hui elle vient de se rendre compte que 30% des pneus livrés lundi dernier ont un défaut et doivent être repris. Un distributeur a acheté 200 de ces pneus. On cherche à évaluer la probabilité que parmi eux, au moins 70 soient défectueux.
Pour tout entier n inférieur ou égal à 200, on définit Sn le nombre de pneus défectueux, parmi les n premiers.
Quelle est la loi de Sn ?

Je trouve Sn suit B(200;0.3)

On pose Y n= Sn/n
C’est la proportion de pneus défectueux, parmi les n premiers. C’est aussi la moyenne arithmétique des variables aléatoires X1, X2, ... Xn.

Déterminer E(Yn) et Var(Yn).

Je ne vois pas comment calculer cette espérance et variance, j'aurai intuitivement divisé par n mais je retombe sur la loi binomiale d'un seul pneu.

Merci d'avance de votre coup de pouce

[Sylviel]

Bonjour,

Tout d'abord Sn suis B(200,0.3) si on suppose que les défauts sont distribués uniformément sur l'ensemble des pneus. C'est une hypothèse qu'on a besoin de faire pour pouvoir mener les calculs.

Pour l'espérance, on se rappelle qu'elle est linéaire donc E(k*X) = k E(X) (si k est une constante, pas une variable aléatoire bien sur). En conséquence
E(Sn/n) = ...

Pour la variance, on se rappelle qu'elle est homogène à un carré (cf. qq messages au dessus. Tu peux aussi le retrouver à partir de la définition) :
Var(k X) = ... Var(X)
donc Var(Sn/n) = ...

Par la loi des grands nombres tu sais que Yn tends vers 0.3, donc sa variance doit tendre vers 0.

[sauvezmonannee]

Merci,

Pour E(Sn/n) j'ai E(Sn) *1/n -> (60)(1/200) = 0.3

Pour Var(Sn/n) -> [(1/n)^2].(42) = 0.0001

Cela semble correct ? la variance tend bien vers 0.

[Sylviel]

Il me semble qu'il y a une erreur dans le calcul numérique de la variance. On a
Var(Sn/n) = n/n^2 Var(X) = 0.3*0.7/200