Espérance et variance loi de Bernoulli

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ze zoune
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Espérance et variance loi de Bernoulli

par ze zoune » 19 Oct 2020, 21:21

Bonjour à tous,

Je suis en proie à un doute sur l'énoncé suivant :
On considère des variables aléatoires de Bernoulli indépendantes X1, X2, ..., X10, à valeurs dans {0,1} et de paramètre p.
On note la moyenne des résultats.

On me demande l'espérance ainsi que la variance de M.

S'agit-il de l'espérance et de la variance de la loi de Bernoulli considérée, c'est-à-dire respectivement p et p(1-p) ?

Merci par avance et bonne soirée !
Modifié en dernier par ze zoune le 20 Oct 2020, 14:47, modifié 1 fois.



GaBuZoMeu
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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par GaBuZoMeu » 20 Oct 2020, 00:02

Bonsoir,

Ce que tu donnes, c'est l'espérance et la variance pour la loi de Bernoulli de chaque X_i. Mais on te demande l'espérance et la variance de la moyenne M des X_i.
La moyenne, c'est la somme divisée par 10.
As-tu vu des choses sur l'espérance d'une somme de variables aléatoires ? Sur la variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes ?

ze zoune
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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par ze zoune » 20 Oct 2020, 10:52

Bonjour,

Par linéarité, on a bien : .
Comme l'espérance de chaque variable aléatoire Xi est égale à p, on a :
De même pour la variance, .
Mon raisonnement tient-il la route ?

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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par GaBuZoMeu » 20 Oct 2020, 11:55

Pas pour la variance.
Traite le cas de la variance plus sérieusement.

ze zoune
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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par ze zoune » 20 Oct 2020, 14:46

Dans le cas de variables aléatoires indépendantes, peut-être puis-je utiliser la propriété où a et b sont des constantes et X ma variable aléatoire.

Donc, par cette propriété puis par linéarité de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes, on aurait dans le cas présent :

.

Ai-je oublié quelque chose ?

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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par GaBuZoMeu » 20 Oct 2020, 14:55

Ton calcul est correct, mais ce que tu écris avant l'est moins.

Le est correct mais n'a rien à voir avec l'indépendance des variables aléatoires puisqu'il n'y ici qu'une seule variable aléatoire.

Mais surtout parler de "linéarité de la variance dans le cas de variables aléatoires indépendantes" ne va pas du tout. La linéarité voudrait dire en particulier que pour tout réel , , ce qui est faux !
Ce qui se passe, c'est que la variance de la somme d'un nombre fini de variables aléatoires indépendantes est égale à la somme des variances : mais ça ne signifie absolument pas que la variance est linéaire dans le cas de variables aléatoires indépendantes.

ze zoune
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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par ze zoune » 20 Oct 2020, 14:59

Ça marche, merci beaucoup pour ton aide !

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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par GaBuZoMeu » 20 Oct 2020, 15:10

Avec plaisir.

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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par GaBuZoMeu » 20 Oct 2020, 23:07

Quelqu'un s'est intéressé à ce fil et a fait une simulation.
http://dlz9.forumactif.com/t630-application-d-un-exercice#9378
Il prend pour épreuve de Bernoulli "tirer un 6 au dé". Le paramètre de la loi de Bernoulli est donc p=1/6.
Il fait 100 tirages et note la moyenne. On est donc ici dans le cas où les sont indépendantes et suivent la loi de Bernoulli de paramètre 1/6. Il faut donc remplacer 10 par 100 dans la réponse à l'exercice ci-dessus et la variance de est .
Il répète 10 fois cette expérience de 100 tirages et trouve comme moyennes 0.18, 0.23, 0.19, 0.15, 0.17, 0.19, 0.12, 0.21, 0.11, 0.18. Il estime alors la variance de sur cet échantillon et trouve 0.0014 : ceci concorde parfaitement avec le résultat théorique.
Merci à Dlzlogic d'avoir fourni ce bel exemple d'accord entre la théorie et la simulation, même s'il s'est un peu embrouillé entre 10 et 100.

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Re: Espérance et variance loi de Bernoulli

par GaBuZoMeu » 21 Oct 2020, 10:27

Si on a deux sous de jugeote et qu'on veut vérifier expérimentalement le résultat de l'exercice, on sait bien qu'il faut estimer la variance sur un échantillon de taille suffisamment importante (disons un millier) de moyennes de 10 variables de Bernoulli.
Une petite procédure Python pour faire ça, dans le cas où l'épreuve de Bernoulli est "obtenir 6 en tirant un dé".

Code: Tout sélectionner
import random as rd

def M(n) :
    #moyenne du nombre de 6 sur n tirages
    tot=0
    for i in range(n) :
        de = rd.randrange(1,7)
        if de == 6 : tot+=1
    return tot/n

def VarEch(p,n) :
    # p taille de l'échantillon de moyennes sur n tirages
    Ech = [M(n) for i in range(p)]
    Moy = sum(Ech)/p
    Var = sum((m-Moy)**2 for m in Ech)/(p-1)
    print("Variance estimée sur un échantillon de {p} moyennes\n\
sur {n} tirages : {v:.3g}".format(p=p,n=n,v=Var))


et des résultats obtenus en faisant varier le nombre de tirages sur lequel on fait la moyenne :
Variance estimée sur un échantillon de 1000 moyennes
sur 1 tirages : 0.137
Variance estimée sur un échantillon de 1000 moyennes
sur 10 tirages : 0.0145 (conforme au résultat 0.0139 de l'exercice pour cet exemple)
Variance estimée sur un échantillon de 1000 moyennes
sur 100 tirages : 0.00128 (conforme à la simulation de Dlzlogic)
Variance estimée sur un échantillon de 1000 moyennes
sur 1000 tirages : 0.000127
On remarque bien le comportement inversement proportionnel au nombre de tirages sur lesquels on fait la moyenne.

On peut, pour s'égayer un peu, suivre les démêlés de Dlzlogic avec les variables aléatoires :
http://dlz9.forumactif.com/t630-application-d-un-exercice#9382

 

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