Espérance d'une somme au carré

[Menthix]

Bonjour, voici ce que mon prof a écrit pour l'espérance du carré d'une somme. Je ne suis pas convaincu. La ligne se terminant par un point d'interrogation est la ligne que mon prof a écrite sans autre explication. A droite de ce point d'interrogation c'est ce que je considère comme juste selon moi. Après, reste à montrer que le deuxième terme de la somme est nul...

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Merci d'avance pour vos réponses

[LB2]

Bonjour,

en toute généralité, le deuxième terme de la somme (en E(Zi Zj Xi Xj) ), la somme portant sur les couples (i,j) avec i différent de j, est non nul.

Avec hypothèse d'indépendance mutuelle et que les Zi sont des Bernoulli de même paramètre, tu peux dire que E(Zi Zj Xi Xj) =p^2 E(Xi) E(Xj)

Ce terme n'est pas nul en général, sauf (par exemple) si les Xi sont centrées.

[Menthix]

Merci de ta réponse. C'est bien ce que je pensais. On sait que les tous les Xi ont la même espérance, mais bon je ne suis pas sûr que ça aide. Au final on a p^2.(E(X)^2) qui est non nul (sauf si Xi centrées en effet).

[Menthix]

J'ai une autre petite question. Dans ce même cours (avec ce même prof donc...), j'ai :
P(X>x) = P(X^p > x^p)
Ca me parait faux (bien que je ne sache pas donner un contre exemple. De plus je me dis que comme P(X>x) est une fonction décroissante de x, on a au mieux : P(X>x) < P(X^p > x^p) non ?

Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour
J'ai un doute sur tes questions. En effet, a priori, tel quel le calcul est faux; mais ensuite tu balances des hypothèses. Donc ton prof écrit peut être des choses sous certaines hypothèses qu'on a pas. Alors pour moi pas question de juger des notes comme cela.
D'autant plus que dans ta deuxième question il a surement raison, en tout cas bien plus que toi.
De plus tu nous dis pas ce que c'est x et ce que c'est p.
Mais si x>0, et bien ce qu'il a écrit est toujours vrai.
Si p est impair c'est toujours vrai.
Pour être honnête, je pense qu'il est préférable de lui demander des explications personnellement car lui il a tous les éléments en main.

[LB2]

Si tu veux comparer P(X>x) et P(X^p > x^p), compare les évènements X>x et X^p > x^p.
Comme le dit aviateur, si x>0, ce qu'il a écrit est toujours vrai car c'est le même évènement (et c'est le cas à mon avis).