Espérance
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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yonyon
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par yonyon » 04 Juin 2006, 21:51
Bonjour, j'ai un problème dans un exo de proba, où je trouve
P(X=k)=1/2^k et où je dois calculer l'espérance de X, mais je ne vois pas comment faire, j'ai:
mais, je ne vois pas comment simplifier ça...
Merci d'avance
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murray
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par murray » 04 Juin 2006, 21:57
bonjour,
ton problème revient en fait à calculer somme(k*x^k) (avec x =1/2 dans ton cas).
cette série entière est la dérivée (à peu de chose près ) de la série
somme(x^k)
Tu écris alors:
somme(x^k)= 1/(1-x).
puis tu dérives des deux côtés, et tu retrouveras ton expression.
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Zebulon
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par Zebulon » 05 Juin 2006, 07:01
Bonjour,
par ma méthode, je trouve E(X)=3. Murray, quel est votre résultat?
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murray
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par murray » 05 Juin 2006, 10:28
bonjour,
j'ai trouvé E(X)=2
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Zebulon
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par Zebulon » 05 Juin 2006, 10:55
Voici comment j'ai fait :
Soit
et
, alors par théorème de dérivation,
donc
donc
.
donc
donc
.
J'ai quand même peut-être fait une petite erreur...
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murray
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par murray » 05 Juin 2006, 11:24
Ma méthode:
S(x)= sigma(x^k)= 1/(1-x)
S'(x)=sigma(kx^k-1)=1/(1-x)² (dérivation des 2 côtés)
et sigma(kx^k-1)=sigma((i+1)x^i)
D'ou sigma(i*x^i)= 1/(1-x)² -sigma(x^i)
sigma(i*x^i)= 1/(1-x)²- 1/(1-x)
on remplace ensuite x par 1/2
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Zebulon
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par Zebulon » 05 Juin 2006, 11:29
Sans préciser les bornes vous commettez des erreurs.
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Zebulon
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par Zebulon » 05 Juin 2006, 11:37
Oups! Ici c'est à partir de k=1, et moi j'ai fait à partir de k=0. C'est peut-être pour cela que nous n'avons pas les mêmes résultats. Je regarde.
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murray
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par murray » 05 Juin 2006, 11:42
cela revient au même puisque k=0 compte pour zéro dans le calcul de l'espérance
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Zebulon
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par Zebulon » 05 Juin 2006, 11:47
Voilà la version corrigée et propre!
Soit
et
, alors par théorème de dérivation,
donc
donc
.
donc
donc
.
Voilà ce qui clochait!
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Touriste
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par Touriste » 05 Juin 2006, 11:57
Bonjour,
En fait, d'une façon générale, quand
est un puissance comme ici (c'est
), le plus simple est d'utiliser la fonction génératrice et ses dérivées. Plus précisément,
(facile à calculer puisque c'est une série géométrique).
Ensuite,
et
. Je passe bien sûr ici toutes les justifications qui sont normalement dans les cours, mais on oublie souvent d'utiliser cette fonction génératrice...
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