Espérance conditionnelle

[Raito07]

Bonjour, voici un exercice de probabilité qui me donne du mal.




si quelqu'un à une idée pour attaquer la première question déjà, je suis preneur

Merci

[Raito07]

trop dur pour le forum j'imagine

[GaBuZoMeu]

Pour la question 1, il suffit d'utiliser la définition de la covariance, et de faire rouler avec la propriété (ii). As-tu essayé ?

[Raito07]

salut GaBuZoMeu! merci pour ta réponse.

J'ai essayé oui mais je ne vois pas à quel moment je peux appliquer (iii) (dans l'énoncé c'est (iii) qui est demandé et non pas (ii) ):

[GaBuZoMeu]

Je soupçonne qu'il y a une coquille dans (iii) et qu'il faudrait plutôt lire .

[Raito07]

oui je suis d'accord avec toi car l'espérance conditionnelle c'est la projection de Y sur les fonctions de X donc elle minimise la distance L²

[Raito07]

donc j'ai et minimale. comment je continue?

[GaBuZoMeu]

Raisonnons géométriquement : si réalise la distance de au sous-espace (c.-à-d. minimise le carré de la norme de pour ), c'est que est orthogonal à . Au fait, c'est quoi le produit scalaire, ici ?

[Raito07]

ah c'est dingue je savais pas que la covariance correspondait à un produit scalaire de L²!
du coup:
est la projection sur l'espace des fonctions de X.
est la projection sur l'espace orthogonal à l'espace des fonctions de X.

donc le produit scalaire est nul pour toute fonction h mesurable

[Sylviel]

Techniquement la covariance n'est pas un produit scalaire (ou alors il faut quotienter par les v.a. constantes).

[Raito07]

Techniquement la covariance n'est pas un produit scalaire (ou alors il faut quotienter par les v.a. constantes).

ça veut dire quoi exactement ?

[Raito07]

ok je me suis renseigné et en effet Cov n'est pas une forme bilinéaire définie positive. Var (X) = 0 n’entraine pas que X= 0, mais seulement que X= Cste.

Donc ma réponse à l'exercice est fausse?

[GaBuZoMeu]

Le produit scalaire est .
La covariance est le produit scalaire pour les v.a. centrées, autrement dit sur l'orthogonal des v.a. constantes. Si et sont des v.a. pas forcément centrées, leur covariance est le produit scalaire de leurs projections sur l'espace des v.a. centrées.
Tu remarqueras que l'espace sur lequel tu projettes (les fonctions de ) contient les v.a. constantes.
Tu peux réparer ton raisonnement, je pense.

[Raito07]

J'appelle l'espace des fonctions de X



Le membre de droite de l'égalité correspond bien au produit scalaire entre et .

par ailleurs:

appartient à l'orthogonal de comme on l'a vu.

appartient à car h(X) est une fonction de X et que sa projection sur la constante est également dans X.

Donc le produit scalaire est nul.

[GaBuZoMeu]

Voila.

[Raito07]

Ok merci tout le monde, j'ai appris plein de choses. Je pense pouvoir gérer la suite tout seul grâce à ça.