Espérance conditionnelle - Mouvement Brownien

[OniYOmOx]

Bonjour,

J'ai un petit problème de compréhension dans une étape d'une démonstration de mon cours de proba.
Voilà :

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On se place dans (, A, P)
On suppose t>s
la filtration sur A
un mouvement brownien standard.

J'ai le résultat suivant, mais je n'arrive pas comprendre pourquoi c'est vrai ?



J'ai cherché le lien et j'ai ma petite idée :
On sait que
Or
Donc

On se rapproche du résultat, mais je n'arrive pas à savoir comment prouver que


On sait que
est orthogonal à
Donc

Cela implique-t-il que est orthogonal à ?

Si oui, d'après quel théorème ?

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Plus généralement, soit G un espace.
Si est orthogonal à G
Avons-nous orthogonal à G ? Pour tout f ?


Merci d'avance pour votre aide.

[Doraki]

Tu peux rappeler la définition précise de "variable aléatoire orthogonale par rapport à une tribu" ? je la trouve pas sur le net.

[OniYOmOx]

Tu peux rappeler la définition précise de "variable aléatoire orthogonale par rapport à une tribu" ? je la trouve pas sur le net.

Sans certitude, je pense que :

X v.a. est orthogonale à une tribu F ssi :
la tribu engendrée par X : est indépendante à F

[Doraki]

Alors si X est orthogonale à une tribu F,
la tribu engendrée par f(X), c'est une tribu incluse dans celle engendrée par X. Donc elle est toujours indépendante avec F.