ESPACES VECTORIELS (j'ai vraiment besoin d'aide lol)

[Florix]

Bonjour j’aurais besoin d’aide pour cet exercice sur les espaces vectoriels :


Déterminer lesquels des ensembes E1 , E2 , E3 , E4 sont des sous espaces vectoriels de R^3
Calculer leur dimensions.

Quelque soit x,y,z appartient à R^3,

a) E1 = { x + y – z = x + y + z = 0 }
b) E2 = { x^2 – z^2 = 0 }
c) E3 = { e^x e^y = 0 }
d) E4 = { z(x^2 + y^2) = à }


Déjà, pour démontrer que ce sont des sous-espaces vectoriels de R^3, il suffit de démontrer qu’ils ont une famille génératrice et que leur dimension est inférieure ou égale à 3 non ??? Je sais pas si j’ai bien compris le cours

Ensuite, par exemple pour E1, je trouve x = - y et z = 0
On a donc X (x,y,z) appartient à E1 = ( -y , y , 0 ) = y ( -1, 1, 0)
On a donc dim H = 1
Donc c’est un sous espace vectoriel de R^3 non ?

E2 je sais pas comment faire parce qu’on se retrouve avec x^2 = z^2 donc on a des valeurs absolues |x| = |z| et ensuite comment on fait ?

E3 je sais pas faire avec les exponentielles

E4 j’arrive pas non plus !

Aidez mois svp !

Merci d’avance

[memphisto]

Pour E1 ton raisonnement est bon. Ce qui te permet d'écrire que E1 est un sous espace vectoriel de R^3, c'est le fait que E1 est défini par deux relations LINEAIRES, qui correspondent chacune a un plan de R^3. Donc le sous espace de dimension 1 que tu obtiens est simplement l'intersection des deux plans déterminés par tes deux équations.

Pour E2, E3, E4, les relations présentes ne sont pas linéaires. Ils ne peuvent donc pas représenter des sous espaces vectoriels de R^3.

[abcd22]

Déjà, pour démontrer que ce sont des sous-espaces vectoriels de R^3, il suffit de démontrer qu’ils ont une famille génératrice et que leur dimension est inférieure ou égale à 3 non ???

Non, il suffit de montrer que 0 (enfin (0,0,0)) est dans cet ensemble et qu'ils sont stables par combinaison linéaire. Si ces deux conditions sont remplies ce sont des sous-espaces vectoriels et leur dimension est forcément inférieure à 3 puisqu'ils sont inclus dans R^3.

[Florix]

MErci beaucoup pour vos réponses !

Ceci dit j'ai pas compris pourquoi E2, E3, et E4 etait pas des sous esapces vectoriels de R^3 ?

Je vois pas les calculs qu'il faut faire ! Par exemple avec e^x e^y = 0, comment exprimer x en fonction de y par exemple pour trouver la combinaison linéraire ?

[memphisto]

On ne peux pas trouver de combinaison linéaire a partir d'une équation qui ne l'est pas. Ceci dit, abcd22 a raison quant à la méthode a utiliser, je le cite:

Pour montrer qu'un sous ensembe F d'un espace vectoriel est un sous espace vectoriel,
il suffit de montrer que 0 (enfin (0,0,0)) est dans cet ensemble F, et que F est stable par combinaison linéaire.

Donc si pour E2, E3, et E4 tu arrives à mettre en défaut une de ces deux propriétés, tu aura montré qu'ils ne sont pas sous espace.

[abcd22]

e^x e^y = 0 a des solutions ?

[Florix]

Lol !!!

J'ai jamais dit que j'étais bon en maths.

Oui en effet, cette équation n'a pas de solutions

(je suis vraiment un abruti :mur:)

Merci

[Florix]

Bon alors je vais encore montrer ma nulité en maths lol désolé

E4 = { z(x^2 + y^2) = 0 }
Pourquoi n'est-ce pas linéaire ?

[abcd22]

À cause des puissances et du produit par z.

[abcd22]

Les éléments de E4 sont les éléments tels que z = 0 ou x = y = 0, donc c'est une réunion de deux sev, et ce n'est pas un sev car par exemple (1,1,1) n'est pas dans E4 mais est somme de deux éléments de E4.

[theorie]

Pour Prouver qu'un Ensemble est un sous-espace vectoriel, tu dois démontrer 3 point (toujours les mêmes, t'as juste à apprendre par coeur la methode)

1) montrer que le vecteur nul appartien à l'ensemble

2) si t'as deux vecteur qui sont déjà dans cette ensemble, tu dois montrer que leur somme reste dans l'ensemble

3) si tu prend un vecteur de cet ensemble, et que tu le multipli par un scalair, tu dois montrer qu'il reste dans l'ensemble

Et là, le tour est joué, c'est prouvé. Alors maintenant, comment faire?
Tu vois, tes ensembles E1, E2 etc sont défini par des équations, donc il suffit de voir si les equations sont vérifiés ou pas pour chaqu'un des 3 point cité + haut

Je te fait pour E1: Bon alors déjà, c'est bête ce que je vais dire, mais faut déjà voir que x + y – z = x + y + z = 0 enfait c'est 2 equations: x+y–z = 0 et x+y+z = 0

Et bien commençons:

1) je prend le vecteur nul: (0, 0, 0)
donc celà veut dire que x = 0, y = 0, et z = 0
j'aplique la première équation: x+y-z = 0+0-0 = 0 et voilà, c'est bon, si j'avais trouvé un résultat diferent de 0 alors ça aurait voulu dire que E1 n'est pas un SEV.
j'applique la deuxième équation: x+y+z = 0+0+0 = 0 et voilà, c'est encore bon
On vient donc de montrer que les équations étaient vérifié pour le vecteur nul, maintenant passons au point 2

2) Je prend u = (x1, y1, z1) et v = (x2, y2, z2) qui appartiennent à E1. DOnc puisqu'ils appartiennent à E1, celà veut dire que:
x1+y1-z1 = 0 x2+y2-z2 = 0
x1+y1+z1 = 0 x2+y2+z2 = 0

je les additionne, ça me donne w = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
Et bien voilà, ne reste pu qu'à appliquer les 2 equations à w
(x1+x2) + (y1+y2) - (z1+z2) = x1+x2+y1+y2-z1-z2 = x1+y1-z1+x2+y2-z2 = (x1+y1-z1) + (x2+y2-z2)
or, on sait que (x1+y1-z1) = 0 et (x2+y2-z2) = 0
on obtient donc 0 + 0 = 0
Voilà, ne reste pu qu'à faire la meme chose avec la deuxieme equation et vérifier qu'on obtient bien 0

3) Je prend le vecteur u défini juste au dessus, et je le multipli par un scalair: a
Ce qui donne le vecteur: (ax1, ay1, az1)

Je lui applique la première équation: ax1 + ay1 - az1 = a(x1 + y1 - z1)
or encore une fois, on sait que (x1+y1-z1) = 0
donc on a: a*0 = 0
Le tour est joué
Je te laisse vérifier qu'on trouve bien 0 à la deuxième équation

On a montré les 3 points, donc on a prouvé que E1 était un SEV!! Si ne serait-ce qu'une seule fois on avait trouvé un résultat diferent de 0, alors E1 n'aurait pas été un SEV, c'est tout. Et biens sur, si les equations avaient été: x + y - z = 153, et bien il n'aurait pu fallu montrer que c'est egal à 0, mais bien à 153.

Enfin bref, ce qu'il faut bien que tu te mettes dans la tete, c'est que l'ensemble E1 doit contenir l'élément nul, que si on prend 2 vecteurs de E1 et qu'on les aditionnes, et bien ça reste encore dans E1, et que si tu multipli un élément de E1 par un scalaire, ça reste aussi dans E1
Là on nous donne des équations, alors on s'en sert. Mais si on avait eu autre chose que des équations, et bien il aurait fallu se servir de ces autres choses, et réfléchir un peu

Montrer le point 2), ça veut dire que tu montres que c'est stable par addition
Montrer le point 3), ça veut dire que tu montres que c'est stable par multiplication scalaire

Si tu as des questions, un truc que tu n'as pas compris: n'ésites pas à demander

[Florix]

Merci énormement théorie ça m'aide beaucoup à reviser les anciennes méthodes !

Parce qu'avec les familles génératrices c'est beaucoup plus rapide !

Ceci dit on a vu les 2 méthodes (la tienne il y a 3 mois) et les familles génératrices on est en plein dedans !

Mais bon je pense que le prof attend les familles génératrices, parce que sinon il va me dire que je prends l'ancienne méthode. Et je l'entends déjà dire "Votre raisonnement n'est pas faux mais on a vu beaucoup plus rapide"

Mais merci quand meme vraiment mercib

[theorie]

ah d'accord, moi je ne connais pas cette méthode, je n'ai pas encore vu...

Alors il y a un truc que j'ai pas compris pour E1...:
Bon alors je fais l'hypothèse que E1 est un SEV
Vu qu'il est dans R3, et qu'il est défini par 2 équations, ça veut dire qu'il est de dimension 1 : (Dimension 3) - (2 équations) = (dimension 1)

Donc pour trouver une base génératrice de E1, il suffit de trouver un vecteur qui soit linéairement indépendant avec lui même (pas dur), et qui satisfasse les 2 équations. Et si ce vecteur éxiste bien, alors j'ai prouvé que E1 est un SEV c'est ça??

Donc à moins que je me trompe, si je garde le même raisonnement pour E2:
E2 est de dimension 2, et j'ai par exemple {(1, 0, 1) et (0, 1, 0)} qui forme une base génératrice de E2, et donc voilà E2 est bien un SEV

Donc pour E4, {(1, 1, 0) et (0, 0, 1)} fonctionne alors c'est bon?? :hein: