Espaces vectoriels

[audre66]

bonjour j'ai besoin d'aide pour cet xos
soit p et q les ss espaces vectorieles de R4 definis par p='(x,y,z,t) de R4 tels que x+y+z=0 etx-t=0
et q=vect((1.1.0.1);(1.0.0.2);(2.3.0.1))
1.trouver une base et la dimension de chacun des espaces p et q
2.soit v=(x,y,z,t) un vecteur de R4.trouver des conditions necessaires et suffisantes sur x,y,z ett pour que v appartiennent a Q
merci

[thomasg]

Bonjour,

1) Pour le sev p. choisissons 4 vecteurs queconques de p, montrons que le rang de la matrice associée est inférieur ou égal à 2

x1 x2 x3 x4
y1 y2 y3 y4
z1 z2 z3 z4
t1 t2 t3 t4

x=t entraîne que les lignes 1 et 4 sont égales
z=-x-y entraine que la ligne trois est combinaison linéaire des lignes 1 et 2.

le rang de cette matrice est donc inférieur ou égal à 2.

d'autre part les vecteurs (1 ; -1 ; 0 ; 1) et (1 ; 0 ; -1 ; 1)
sont deux vecteurs de p indépendants.

Donc ils forment une base de p et la dimension de p est 2.

Pour le sev q,

par combinaisons linéaires sur les lignes, la matrice associèe aux trois vecteurs générateurs:
1 1 0 1
1 0 0 2
2 3 0 1

devient
1 0 0 2
1 0 0 2
0 1 0 -1

la dimension de q est donc 2 et il a pour base: {(1 0 0 2);(0 1 0 -1)}

2) v appartient à q ssi il existe a et b tels que
v=a*{(1 0 0 2)+b*(0 1 0 -1)
donc v=(a;b;0;2a-b)

donc la cns sur x, y, z et t est:
t=2x-y et z=0.

A bientôt.

[xunil]

une autre méthode pour la question1) :
Pour p:
x-t=0 x=t
et x+y+z=0 y=-x-z
donc (x;y;z;t)=(x;-x-z;z;x)=x(1;-1;0;1)+z(0;-1;1;0)
donc la famille constituée des 2 vecteurs (1;-1;0;1) et (0;-1;1;0) est génératice du SeV p. On montre facilement qu'elle est libre.C'est donc une base de p qui est donc de dimension 2.
Pour q:
On remarque que la famille ((1.1.0.1);(1.0.0.2);(2.3.0.1)) est liée:
(2.3.0.1)-3(1.1.0.1)=-(1.0.0.2)
et on montre facilement que (2.3.0.1); (1.1.0.1) est libre.
Donc une base de q est (2.3.0.1); (1.1.0.1) qui est donc de dimension 2.

[audre66]

de dimension 2 car elle a deux vecteur pour bese c bien ça?

[xunil]

de dimension 2 car il (l'espace vectoriel) a deux vecteurs pour base c'est bien ça?

oui, c'est bien ça.

[thomasg]

posté par xunil
x+y+z=0 y=-x-z

Une petite erreur de signe qui modifie un des vecteurs de la base que tu as choisie.

A bientôt.

[xunil]

Merci, c'est corrigé.
A bientôt. :we:

[audre66]

je peut avoir un espace vectoriel de dimension un?

[kazeriahm]

oui tu peux. R est un R-ev de dimension 1. Si K est un corps, K est un K-ev de dimension 1.

Dans R^2 (le plan), tu traces une droite qui passe par l'orignie : c'est un ev de dimension 1

etc etc