Espaces Vectoriels (inclusion)

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Espaces Vectoriels (inclusion)

par Lostounet » 10 Avr 2014, 22:51

Bonsoir,

Je bloque sur un exercice simple d'algèbre linéaire.

Soit E un espace vectoriel de dimension n, et avec
Soit avec u non nul.

Il faut montrer que ker phi et vect(u) sont supplémentaires. J'ai montré que leur intersection était réduite au singleton 0, il me reste à montrer que leur somme vaut E.

Je bloque donc sur

J'ai commencé par écrire que rg(phi) = 1 et j'ai pu déduire que dim (ker phi) = n - 1 (théorème du rang).
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Doraki
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par Doraki » 10 Avr 2014, 22:59

Tu devrais faire un dessin par exemple dans R^3 avec je sais pas moi phi(x,y,z) = x.
Question à 1000000 € étant donné un u = (xu,yu,zu) qui n'est pas dans ker phi (au hasard, (1,0,0)), et un v = (12,-23,57), comment trouver un réel k tel que v - k.u est dans ker phi ?

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par Lostounet » 10 Avr 2014, 23:02

Euh tu veux phi(v - ku) = 0

phi(v) = k phi(u) ... ?
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par Doraki » 10 Avr 2014, 23:02

Oui très bien, et donc k il vaut quoi en terme de phi,u et v ?

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par Lostounet » 10 Avr 2014, 23:05

phi(v) = kphi(u)

phi(v) = phi(vect (u) ) ?
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par Doraki » 10 Avr 2014, 23:06

???????????????????????????????????????????????

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par Lostounet » 10 Avr 2014, 23:08

k = phi(v)/phi(u) ?
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par Doraki » 10 Avr 2014, 23:20

ah j'préfère

Donc que penses-tu de la décomposition v = (phi(v)/phi(u))*u + (v - (phi(v)/phi(u))*u) ?

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par Lostounet » 10 Avr 2014, 23:59

Tu viens de décomposer un vecteur v de E en une somme de scalaire * u + quelque chose qui appartient au noyau de phi par construction.

Tu as montré que E inclu dans vect(u) + ker(phi) il me semble?
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LA solution
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par LA solution » 11 Avr 2014, 00:26

bonjour,
si j ai une bonne memoire...
voila quelque piste
on a: u elm de E-ker(fi)==>u elm de l orhogonal de ker(fi) et on sait que l ortho de ker(fi) inter ker(fi) =E d où u et ker(fi) sont suplementaire car dim(ortho de ker(fi))+dimker(fi)=dimE et orthodeker(fi) inter ker(fi)= ensemble vide

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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 11 Avr 2014, 01:12

LA solution a écrit:bonjour,
si j ai une bonne memoire...
voila quelque piste
on a: u elm de E-ker(fi)==>u elm de l orhogonal de ker(fi) et on sait que l ortho de ker(fi) inter ker(fi) =E d où u et ker(fi) sont suplementaire car dim(ortho de ker(fi))+dimker(fi)=dimE et orthodeker(fi) inter ker(fi)= ensemble vide

Juste un "détail" : on est pas dans un espace euclidien donc y'a pas de produit scalaire, ni d'orthogonal...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

nana2014
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par nana2014 » 11 Avr 2014, 17:18

je pense que la réponse est immédiate
puisque dans un espace vectoriel de dimension fini on a une propriété des supplémentaires:
F et G sont supplémentaires dans E ssi :
1- l'intersection de F et G est réduite à 0
2-dimE=dimF+dimG

alors que dans votre question ona dim(kerphi)=n-1 et dim(vect(U)=1 ce qui donne immédiatement le résultat

 

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