Espaces vectoriels et bases

par **Dante0** » 28 Oct 2012, 21:48

Bonjour,

Soit l'ensemble de vecteurs de R3 :
0 1 1
1 0 1
1 1 0

1. Montrer qu'il est une base de R3
2. En déduire le nombre de solutions du système

=

La matrice qui s'affiche est celle de départ...
J'ai réussi la première question (en gros je démontre que les vecteurs de cette matrice sont indépendants en prouvant que x = y = z = 0) pour la 2e je ne sais pas comment faire.

Merci!

par **capitaine nuggets** » 28 Oct 2012, 23:36

Dante0 a écrit:Bonjour,

Soit l'ensemble de vecteurs de R3 :
0 1 1
1 0 1
1 1 0

1. Montrer qu'il est une base de R3
2. En déduire le nombre de solutions du système

=

La matrice qui s'affiche est celle de départ...
J'ai réussi la première question (en gros je démontre que les vecteurs de cette matrice sont indépendants en prouvant que x = y = z = 0) pour la 2e je ne sais pas comment faire.

Merci!

Salut !

équivaut à

.
Or ta famille de vecteur de

est une base donc ...

par **Sylviel** » 29 Oct 2012, 09:02

pour ma part je veux bien voir comment tu as montré que tes vecteurs sont indépendants ?

par **Dante0** » 29 Oct 2012, 12:29

capitaine nuggets a écrit:Salut !

équivaut à .
Or ta famille de vecteur de est une base donc ...

comment en déduire le nb de solutions?
je fais la démo pour l'indépendance tout à l'heure

par **Sylviel** » 29 Oct 2012, 14:15

Ecrivons le ainsi : tes vecteurs forment une base, donc la matrice est inversible. Ton système s'écrit
x=Ma où x=(x,y,z) et a=(a,b,c)
donc a= ... x
donc, nombre de solutions ?

par **Dante0** » 29 Oct 2012, 16:22

Sylviel a écrit:Ecrivons le ainsi : tes vecteurs forment une base, donc la matrice est inversible. Ton système s'écrit
x=Ma où x=(x,y,z) et a=(a,b,c)
donc a= ... x
donc, nombre de solutions ?

Non je vois pas ou tu veux en venir.. ?
a=x/M ?

par **Sylviel** » 29 Oct 2012, 16:25

C'est un peu l'idée sauf qu'on ne divise pas un vecteur par une matrice. On multiplie par la matrice inverse.

Une autre manière de voir les choses consistes à dire que ta famille de vecteur représente une base.
Ainsi, par définition, il existe un unique jeu de coordonnées a,b,c tel que x= a e1 + b e2 +c e3. (E1, e2 et e3 sont tes trois vecteurs).

par **Dante0** » 29 Oct 2012, 18:14

Sylviel a écrit:C'est un peu l'idée sauf qu'on ne divise pas un vecteur par une matrice. On multiplie par la matrice inverse.

Une autre manière de voir les choses consistes à dire que ta famille de vecteur représente une base.
Ainsi, par définition, il existe un unique jeu de coordonnées a,b,c tel que x= a e1 + b e2 +c e3. (E1, e2 et e3 sont tes trois vecteurs).

Dans une base il n'y a qu'une CL unique c'est ca ?
Donc il faut dire que puisque c'est une base de R3 alors elle a une solution unique ?

par **Dante0** » 29 Oct 2012, 21:37

Par définition tout vecteur de R3 peut s'ecrire de facon unique comme une CL des vecteurs de la base.

Cette "facon" représente la solution en fait ? C'est juste ca que je cherche à comprendre ! De quelles solutions on parle ici ?

par **Sylviel** » 29 Oct 2012, 22:04

Oui par définition tout vecteur, y compris x se définit comme combinaison linéaire des vecteurs de ta base. ces coefficients sont les solutions de ton système. Et ils sont unique. Donc il y a une unique solution.

par **Dante0** » 30 Oct 2012, 11:32

C'est compris merci ! :we:

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