Espaces vectoriels, applications linéaires.

[juliette92]

Bonjour, pourrais-je avoir quelques pistes pour résoudre ces exercices.. ?

Soit ( E ,+,. ) un espace vectoriel réel.
Dans ce problème, e désigne idE et u étant un endomorphisme de E, on note :
u0 = e , u1 = u , u2 = uou , n , un+1 = un o u .
k étant un réel donné, on note Ak l'ensemble des endomorphismes u de E tels que :
u2 = ku

I) 1°) Soient k un réel quelconque, u appartenant à Ak , x un vecteur de Im(u) .
Déterminer u(x) en fonction de k et x.
2°) Soient k un réel non nul, u appartenant à Ak , x un vecteur de E.
Montrer que x appartient à Im(u) si et seulement si u (x) = k x.
3°) Soient k un réel quelconque, u appartenant à Ak .
(a) On suppose dans cette question k nul. Comparer Im(u) et Ker(u) .
(b) On suppose dans cette question k non nul.
Montrer que Im(u) et Ker(u) sont supplémentaires dans E.

II) Soit g un endomorphisme de E tel qu'il existe x0 de E -{0}
vérifiant : Im(g) = Vect x0.
1°) On suppose que Im(g) est inclus dans Ker(g) .
Montrer que g appartient à A0 .
2°) On suppose que Im(g) n'est pas inclus dans Ker(g) .
(a) Montrer que Im(g) et Ker(g) sont supplémentaires dans E .
(b) En déduire qu'il existe k réel tel que g appartienne à Ak .

Voila merci beaucoup :)

[Nightmare]

Salut,

tu n'arrives à répondre à aucune question??

[barbu23]

Pour : :happy3:

On a : donc : .
et par conséquent :
et donc :
:happy3:

[barbu23]

Je ne vois pas la difference entre : 1°) et 2°) ! Aucune à mon avis ? :hein:

[barbu23]

Pour :

A toi de faire le reste ! :happy3:

[juliette92]

Merci pour la 1) :)
La différence avec la 2) c'est que l'implication u(x)=kx entraine x appt à Im(u) n'est pas prouvée..

[barbu23]

donc :

y'a rien à prouver ! c'est evident ! :happy3:

[juliette92]

D'accord merci! Donc je pense que c'est bon pour cette partie.. :)

[Ben314]

donc :

y'a rien à prouver ! c'est evident ! :happy3:

A mon avis, il faut quand même écrire que, comme k est non nul, on a ce qui montre que x=u(?) et donc que x est dans Im(u).
Vu l'énoncé, je pense que le résultat est faux lorsque k=0 !