Espaces vect prépa hec

[Anonyme]

bonjour!!
voila jai un dm a rendre pour lundi avec de lanalyse des probas et de lalgbre et lalgebre m'agace un peu
pourriez vous m'aidez sur certaines questions?

On considere l'endomorphisme f de R 3 tel que f(1,0,0)=(1,3,0) f(0,1,0)=(0,3,1), f(0,0,1)=((0,1,3)

1A) definir f(x,y,z) pour tous les reels x,y,z
1 B) demontrer que quelque soit D réel ( f - D* id) est un automorphisme de R3 SSI D n'est pas égal a un deux ou quatre
1c) determiner une base de ker (f-D*id) pour chaque valeur de D appartenan a {1,2,4}
2) on pose u=(1,-2,1) v=(0,1,1) et w=(0,-1,1) quel lien peut on faire entre ces trios vecteurs et la question 1
et enfin pour tout entier n calculer f (exposant n) (u) , f (exp n) (v) , f (exp n) (w)

merci d'avance pour votre aide!
bonne soirée a tous

[abcd22]

Bonsoir !
Pour le 1a), (x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1), on connaît les images de (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) et f est R-linéaire donc on peut calculer f(x,y,z) = x f(1,0,0) + ...
Pour le 1b) et 1c), il faut résoudre (f - D Id)(x,y,z) = (0,0,0). Si la seule solution est (0,0,0), f-D Id est injective, et comme on est en dimension finie avec les espaces de départ et d'arrivée qui ont même dimension, f - D Id injective => f - D Id automorphisme.
Dans le cas où , on doit trouver une droite comme ensemble de solutions.
2) Logiquement, ce sont les trois vecteurs trouvés au b).