Espaces vect. Familles et Bases.

[theloulou]

bonjour,

Je planche sur un exercice concernant le chapitre des Espaces Vectoriels.

Je sais que j'ai un e.v R4 muni de la base cannonique.
u=(0,1,1,-1) v=(1,1,1,0) w=(1,0,0,1) des vect. de R4.
E= Vect({u,v,w}) ss espace engendré par les vect. u,v et w.

On me demande si u,v,w sont linéairement indépendants.
==> Soient a1,a2,a3 € R tel que a1.u+a2.v+a3.w=0

Soit : a2+a3 = 0 => a2=-a3
a1+a2 =0 => a1=-a2
-a1+ +a3 =0 => a1=a3

Seule solution : a1 = a2 = a3 = 0 donc vect. indépendants

Maintenant, je dois trouver une base de E.

donc il faut une famille libre et génératrice. J'ai une famille libre (u,v,w) puisque vect. indépendants mais je ne sais pas démontrer qu'elle est génératrice. Le seul fait que E=Vect({u,v,w}) est suffisant? et on me demande également la dimension de E, qui est de 3 si j'ai bien compris mon semi cours dû aux grèves depuis un mois.

Merci d'avance pour le coup de main .

[Nightmare]

Salut :happy3:

Que veut dire E=Vect(u,v,w) ? Si tu peux répondre à cette question, tu peux résoudre ton problème de famille génératrice.

[theloulou]

oui ça tombe en effet sous le sens, on peut dire aussi que E est engendré par les vect. u,v,w. donc (u,v,w) famille génératrice et libre donc c'est une base de E. et pour la dimension donc c'est 3 puisque 3 vecteurs, c'est cela?

[Nightmare]

Bingo :happy3:

[theloulou]

Merci je saisi bien l'exercice quand c'est sous cette forme avec les vect. donnés mais par exemples pour la suite ou on me l'expose différement, je me perd. (toujours le meme exo)

F ss esp vect de R4 defini par:
F={(x,y,z,t)€ R4; y+t=0 et x-z-t=0}

on me demande encore base et dim.

[Nightmare]

Considère un vecteur (x,y,z,t) de ton espace.

On sait que t=-y et z=x+t=x-y

On en déduit donc que (x,y,z,y)=x(1,0,1,0)+y(0,1,-1,-1)

La famille ((1,0,1,0),(0,1,-1,-1)) est génératrice de ton espace. Elle est bien sûr libre. C'est donc une base.

[theloulou]

euh, plutôt (x,y,x-y,-y) = x(1,0,1,0) + y(0,1,-1,-1) non?

[theloulou]

comment dois je montrer qu'elle est libre et génératrice ici?

[mehdi-42]

Pour ton systeme de vecteurs (u,v,w) il me semble qu'il est lié en prenant a1=a3=1 et a2=-1 , A verifier

[theloulou]

oula, comment décimer un exercice en 3 mots... merci :marteau: je suis encore moins avancé :ptdr:

[theloulou]

bonsoir, j'entre dans mes revisions et je m'aperçois que je n'avais pas su avancer dans cet exo. Si quelqu'un pouvait m'éclaircir, mehdi-42 a mis ma méthode a plat avec sa remarque, je suis un peu perdu. merci

[charlol]

Bonsoir,
Oui en effet, ta famille de vecteur n'est pas libre, car u1-u2+u3=0
Autrement dit u2=u1+u3
Ça veut dire que tu n'as pas besoin de u2, les vecteurs u1 et u3 engendrent le même sous espace vectoriel qu'on leur rajoute u2 ou non .
Du coup tu obtiens une famille cette fois libre (u1,u3) et qui est toujours génératrice, donc une base. Ton espace est de dimension 2

(En effet si tu prend un vecteur de E, il va s'écrire au1+bu2+cu3 mais aussi (a+b)u1+(c+b)u3 donc la famille est toujours génératrice)

Sinon pour la deuxième partie vous avez apparemment fait une erreur d'énoncé : c'est x-z-t=0 donc z=x-t et pas z=x+t
du coup la famille évidente est (1,0,1,0),(0,1,1,-1)

Charlol