Espaces Lp

[Clise]

Bonjour,

Voila mon problème,

On est dans des espaces L^p(I) avec I finit.
Il faut que je démontre que si 1<=q<=p<= infinie on a L^(infinie)(I) inclus dans L^p(I) inclus dans L^q(I) inclus dans L^1(I).

J'ai réussi a montrer la première inclusion, cependant les deux autres rien à faire, j'ai essayé de tourner l'inégalité de Holder dans tous les sens mais je dois mal m'y prendre.

Merci pour votre aide.

[tize]

Bonjour,
décompose I en

[Clise]

Merci, bon alors j'essaye de montrer la deuxième inclusion soit f dans L^p(I) => f dans L^q(I) avec q<= p.

Je pose comme tu me l'as dit A = {x dans I tel que |f|>=1} et B ={x dans I tel que |f|< 1} j'ai donc AUB = I

soit g une fonction dans L^p(I) donc int[I] |f(x)|^p dx < infini
comme q<= p il est existe r >= 0 tel que q+ r = p

int[I] |f(x)|^q dx = int[A] |f(x)|^q dx + int[B] |f(x)|^q dx
= int[A] |f(x)|^(p-r) dx + int[B] |f(x)|^(p-r) dx
<= int[A] |f(x)|^(p-r) dx + int[B] |f(x)|^p dx (car |f(x)|^q <= |f(x)| ^p sur B)
<= int[A] |f(x)|^p dx + int[B] |f(x)|^p dx (car comme |f(x)|>= 1 sur A et r>=0 |f(x)|^(-r) <= 1)
<= int[I] |f(x)|^p dx
Est ce bien cela ?
Pour montrer la dernière inclusion je raisonne de même, sur A et B ?

[ffpower]

:king2: :king2: :king2:
Sauf qu il me semble que c est l inverse sur les majorations sur A et B mais sinon c est ca

Ps:je tiens a sinaler qu il y a quand meme moyen de s en sortir avec holder.Fallait tourner encore un peu plus^^

[Clise]

Ok effectivement je me suis emmêlée les pinceaux avec A et B.

Pour Holder, je vais essayé de continuer a chercher en espérant que mon professeur corrige en utilisant cette méthode ;)

Merci a vous deux

Une dernière question, pourquoi cette inclusion ne fonctionne pas si I n'est pas finie ? (Je vois pour la première mais dans celle la je ne vois pas ce que j'ai pas le droit de faire si I n'est pas finit)

[ffpower]

en fait j avis mal lu ya une petite erreur
Qd |f|>1 tu majore |f|^q par |f|^p,mais quand |f|<1 on peut pas,faut majorer |f|^q par 1(et on a alors besoin que l ensemble soit de mesure finie)

[Clise]

Ok, j'ai compris, merci.
J'ai même réussi a trouver avec Holder ... enfin je crois :$

[ffpower]

tu peux toujours poster on te corrigera

[Clise]

ben alors, j'ai pris

int[I] |f(x)|^q dx = int[I] |f(x)|^(q-1) * |f(x)| dx
<= {int[I] |f(x)|^p dx }^(1/p) * { int[I] |f(x)|^[(q-1)*p/(p-1)] dx }^(1-p)/p

Pour majorer int[I] |f(x)|^[(q-1)*p/(p-1)] dx , j'ai raisonner comme dans le cas précédent puisque (q-1)*p/(p-1) <= p .
Est cela ou y a t il une autre manière de faire ?

Pour la dernière inclusion j'ai fait
int[I] |f(x)|dx = int[I] |f(x)|* 1 dx
<= {int[I] |f(x)|^(p) } ^(1/p) * { int [I] 1^p/(p-1) dx } ^(p-1)/p < infini