Espaces supplémentaires

[jeje56]

Bonjour à tous,
Soient et les SEV de .
Il s'agit de montrer par deux méthodes que F et G sont supplémentaires :
1) En déterminant une base de F et une base de G ;
2) En déterminant dim(F+G).

Je ne parviens pas à dissocier les deux méthodes... Je ne vois pas comment déterminer dim(F+G)=dim(F)+dim(G) sans exhiber des bases de F et G...

Merci à vous !

[GaBuZoMeu]

En utilisant ?

[jeje56]

La consigne est d’utiliser « dim(F+G) ».
Donc oui, je ne vois pas d’autre façon de faire que d’utiliser la formule que tu as rappelée GaBu.
Mais pour trouver dim(F) et dim(G) il faut en connaître des bases... Non ?

[GaBuZoMeu]

Tu ne connais pas la dimension d'un hyperplan ? D'une droite vectorielle ?

[jeje56]

Là n’est pas là question... Pour affirmer que F est un hyperplan il faut bien en exhiber une base !

[GaBuZoMeu]

Bien sûr que non. Le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan. Pas besoin d'exhiber une base, voyons !

[jeje56]

De quelle forme linéaire parles-tu ?

[GaBuZoMeu]

Ben, . C'est une forme linéaire, c.-à-d. une application linéaire à valeurs dans . Comme elle est non nulle, son image est et le théorème du rang dit que son noyau (le sous-espace d'équation ) est de dimension un de moins que la dimension de l'espace de départ . C'est un hyperplan, ici un plan vectoriel de dimension 2.
Aucune base n'a été maltraitée durant cette démonstration.

[capitaine nuggets]

Salut !

C'est du niveau terminale regarde : est l'équation d'un plan (dont un vecteur normal est ) donc est un sous-espace vectoriel de dimension . Pareil pour : est la droite vectorielle dirigée par le vecteur donc est de dimension . La seule chose à montrer c'est que leur intersection est triviale i.e. réduite à . On aura alors la conclusion souhaitée grâce à la formule de Grassmann rappelée plus haut.

[jeje56]

Merci GaBu, merci Capitaine nuggets. Tout est OK.