Espaces de Sobolev et exercice

[blueseed057]

Voilà je me suis lancé dans la découverte des espaces de sobolev.
POur vérifier mes aquis je fais des exercices que j'ai avec e cours mais dont je n'ai pas la correction.
Je voudrais donc vous demander votre avis sur un exercice:

On considère la famille de fonction
Ualpha:x -->x|x|^(alpha-1) quelque soit alpha appartenant à R.
POur quelles valeurs de alpha, Ualpha appartient à H^1(]-1;1[)???

Par H^1(]-1;1[) j'entends les fonction U qui sont dans L^2(]-1;1[) (c'est à dire de carré intégrable) dont la dérivée (au sens des distributions) est dans L^2(]-1;1[).

Voila mon plan d'attaque: dériver Ualpha au sens des distributions et voir la condition sur alpha pour que le carré soit intégrable.

Petite question au passage: |x|^âlpha est de carré intégrabe sur ]-1;1[ si alpha>1/2 n'est ce pas???

Donc en développant la dérivée de U alpha au carré j'ai trois termes:
(|x|^(alpha-1) +x*(alpha-1)signum(x)|x|^(âlpha-2))²=
(|x|^(alpha-1))²+ (x*(alpha-1)signum(x)|x|^(âlpha-2))²+2fois le double produit


La j'essaie de voir les problèmes d'intégrabilité en 0 avec la règle de Riemann pour les trois membres et je prends la plus restrictive sur alpha.

Est-ce que ma méthode est bonne ? Si non ou sont mes erreurs? que trouvez vous pour alpha?


Merci de votre aide.

[serge75]

Petite question au passage: |x|^âlpha est de carré intégrabe sur ]-1;1[ si alpha>1/2 n'est ce pas???
OUI

Est-ce que ma méthode est bonne ?
Il me semble que oui.

[tize]

Petite question au passage: |x|^âlpha est de carré intégrabe sur ]-1;1[ si alpha>1/2 n'est ce pas???

OUI

Je vais peut être dire une énorme bêtise, je suis pas très réveillé mais c'est pas est de carré intégrable sur ]-1;1[ si ???

[serge75]

Par parité, ça revient à dire qu'elle est intégrable sur ]0,1[.
Par riemann, est intégrable sur ]0,1[ ssi 2alpha est >-1.
Tu as raison, il y avait une faute de signe.

[blueseed057]

oui oui j'ai fait une petite erreur dans le su=igne en recopiant mes notes de brouillons!
Désolé mais j'étais pas bien attentif!
Sinon pour le calcul de ma dérivée au sens des distributions c'est bon?
avez vous des valeurs pour alpha? Je pourrais ainsi comparer avec la mienne!La je trouve plus mon brouillon mais je pense l'envoyer dès que je rfetrouve la feuille.

[serge75]

Après réflexion, j'ai un doute sur ta dérivation, car tu as dérivé comme tu aurais dérivé une fonction alors que la discontinuité en x=0 amène à ce que ce soit une dérivée au sens des distribution qui ne coincide pas ici (en gros la dérivée de ta fonction n'est en cas de discontinuité pas une fonction mais une distribution) ; exemple le plus bateau : la dérivée de la fonction caractéristique H de R+ n'est pas la fonction nulle partout (sauf en zéro) mais est une distribution.
Par contre, je ne sais plus trop ce que ça veut dire pour une distribution d'être L², et j'avoue ne pas avoir trop le courage de consulter ma biblio sur le sujet ; bref, ton calcul avec Riemann est sans doute licite pour f, mais pas pour f'. A confirmer...

[blueseed057]

ben en fait je sais que si il y a une discontinuité on doit rajouter le dirac multiplié par l'écart dû à la discontinuité.
|x| a pour dérivée -1 si x négatif et 1 si x est positif. Et si on dérive encore une fois on a 2*Dirac. Est-ce de cela que tu voulais parler?
La dérivée de |x|^alpha pose à mon avis un problème si alpha est négatif car on aura une fonction qui n'est pas continue en 0. La discontinuité étant d'ailleurs infinie je crois qu'on peut même pas appliquer la formule avec le dirac.
Sinon elle est continue et ma formule est bonne( je pense).

[blueseed057]

Au fait L2 veut dire de carré intégrable. Comme Lp de puissance p ième intégrable.

[serge75]

Effectivement, le problème ne se pose que lorsque alpha est négatif et qu'il y a discontinuité. Auquel cas je me répète ta dérivée est une distribution qui n'est pas une fonction ; ainsi dans ce cas ton calcul de dérivée n'a plus vraiment de sens, et tu ne peux t'en sortir avec une dirac car elle n'est alors pas continue par morceaux. Pour être franc, j'ai un peu oublié comment ce cas peut se traiter.
Par ailleurs, l'autre question que je me posais est de savoir ce que veut dire d'être dans L² pour une distribution (et non pour une fonction, ça je sais ! lol). En d'autre termes, qu'est-ce une distribution dans L², dans le cas où ce n'est pas une fonction ?
Si j'ai le courage j'irai regarder dans mon Schwarz, mais là dans l'immédiat je vais aller au resto :we:
Serge