Espaces préhilbertiens

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je ne vois pas comment résoudre cet exercice:

Soit un -espace préhilbertien de -produit scalaire associé .

On suppose qu'il existe un réel tel que pour tous on ait:

[CENTER][/CENTER]

Montrer que est soit l'espace vectoriel nul, soit de -dimension 1.


Je ne vois pas vraiment comment commencer cet exo.

Merci pour vos indications.

[Skullkid]

Bonjour, sauf erreur de ma part, ça marche en supposant par l'absurde que E est au moins de dimension 2. On peut alors prendre deux vecteurs unitaires orthogonaux dans E.

(J'ai jamais travaillé sur des préhilbertiens sur différent de ou mais je suppose que ça fonctionne à peu près de la même façon...pardon d'avance si je me suis trompé)

[legeniedesalpages]

Bon je crois que j'ai trouvé en fait:

On suppose que .

si , on a

[CENTER] quelque soit , [/CENTER]

ce qui est absurde car est définie positive.

Donc .

Soient et supposons que quelque soit , on a .

On a

[CENTER], [/CENTER]

ceci n'est possible que si ,

autrement dit .

Donc et sont colinéaires, D'où est de dimension 1. Mais c'est bizarre j'ai l'impression que du coup pour n'importe quel , on a ? :briques:

[legeniedesalpages]

pardon, je viens de réaliser que j'ai dit n'importe quoi, je rédige.

[legeniedesalpages]

On suppose que .

si , on a

[CENTER] quelque soit , [/CENTER]

ce qui est absurde car est définie positive.

Donc .

Soient et supposons que quelque soit , on a .

On a

[CENTER], [/CENTER]

si , ceci n'est possible que si , autrement dit , ce qui est contradictoire.

Donc .

L'égalité qu'on dispose dans les hypothèses devient alors:

[CENTER],[/CENTER]

qui a lieu seulement lorsque et sont collinéaires, ce qui est de nouveau contradictoire.

Donc et sont colinéaires.

En laissant fixe un vecteur non nul et en parcourant par , on en déduit alors que est de dimension 1.

[legeniedesalpages]

suite à ta remarque Skullid,

déjà on peut dire qu'on l'a montré pour la cas où est de caractéristique 0, sans cette hypothèse je me demande si ça reste vrai. :hein:

[Skullkid]

A en croire Wikipedia, un espace préhilbertien est par définition réel ou complexe, donc y a pas de problème de caractéristique. Y a une définition plus générale dans ton cours ?

Dans ma démonstration, je supposais que E était au moins de dimension 2 et je considérais deux vecteurs unitaires orthogonaux. Alors , d'où une contradiction.

[legeniedesalpages]

A en croire Wikipedia, un espace préhilbertien est par définition réel ou complexe, donc y a pas de problème de caractéristique. Y a une définition plus générale dans ton cours ?

Dans ma démonstration, je supposais que E était au moins de dimension 2 et je considérais deux vecteurs unitaires orthogonaux. Alors , d'où une contradiction.

Non dans mon cours il n'y a aucune précision sur , mis à part le fait que c'est un corps.

Mais comment on voit que dans un espace de dimension , on dispose d'au moins deux vecteurs unitaires orthogonaux? et comment sait-on que deux vecteurs orthogonaux sont libres?

[Skullkid]

Si on a une famille libre on peut l'orthonormaliser par Schmidt :
et avec .

Mais je crois que forcément ou puisqu'une norme est à valeurs dans et que le produit scalaire est à valeurs dans .

(En gros je crois qu'on se prend la tête pour rien xD)

[ThSQ]

[CENTER][/CENTER]

Ca veut dire que l'angle est constant entre deux vecteurs. Si la dim est > 1 on peut toujours construire deux vecteurs orthogonaux non nuls.


Edit : c'est l'idée de skullkid d'ailleurs ..

[legeniedesalpages]

Si on a une famille libre on peut l'orthonormaliser par Schmidt :
et avec .

je ne vois pas pourquoi ?

[Skullkid]

car

[legeniedesalpages]

car

ah oui effectivement,

merci SkullId.