Espaces de dimension finie

[Tiwaz]

Bonjour, j'aimerais savoir pourquoi lorsqu'on a une famille libre (de vecteurs d'un ev de dimension finie) qui n'est pas une base, on doit "rajouter" des vecteurs a cette famille pour obtenir une base ? Pourquoi ne pas en enlever ?

[hdci]

Bonjour,
Une base est génératrice : tout vecteur de est combinaison linéaire des éléments de la base.
Si une famille libre n'est pas génératrice, peut-elle devenir génératrice si on lui "enlève" des vecteurs ?
Si c'était le cas, alors chaque vecteur retiré serait combinaison linéaire des vecteurs restants, ce qui contredit le fait que la famille initiale est libre puisqu'on obtient une combinaison linéaire nulle à coefficients non nuls :



Exemple concret : dans l'espace , la famille de vecteurs est clairement libre.
Mais non génératrice puisqu'aucune combinaison linéaire ne permet d'obtenir .
Si j'enlève l'un ou l'autre de ces deux vecteurs, est-ce que j'obtiens une famille génératrice (autrement dit, serait généré par un seul vecteur) ?

[Tiwaz]

Merci beaucoup pour votre réponse, je comprends mieux maintenant, je n'avais pas bien assimilé la notion de famille génératrice. Si on lui enlève des vecteurs à cette famille libre, ça ne changera rien au problème. Le fait qu'elle ne soit pas génératrice signifie qu'il y a un (ou plusieurs) vecteur(s) de la base qui n'est (ne sont) pas généré(s), c'est pourquoi on doit "rajouter" ce (ces) vecteur(s) a cette famille pour obtenir une base.