Espaces de Banach

par **legeniedesalpages** » 05 Mai 2008, 00:32

Bonsoir,

je bloque sur cet exercice:

Soit

un espace de Banach Et

, l'espace de Banach des applications linéaires continues de

dans

. On munit

de la norme d'opérateur induite par la norme de

.

1) Montrer que si

et

sont dans

,

.

2) Montrer que, si

, la série

converge dans

. En déterminer la limite.

3) Montrer que

est un ouvert de

.

Pour la 1) c'est ok, après pour la 2) je ne vois pas comment déterminer la limite. Pour la 3) je ne vois pas comment attaquer. :hein:

Merci pour votre aide.

par **ffpower** » 05 Mai 2008, 00:47

Indic:se servir de la question 2 lol.Si u est inversible et v de norme petite alors u+v=u(id+vu^(-1)) or id+uv^(-1) est....Je te laisse compléter

par **barbu23** » 05 Mai 2008, 02:39

Ben pour

tu considères l'ensembles des endomorphismes à determinant non nul et le determinant est une application continue n'est ce pas ? et

est exactement le noyaux de ce detrminant ... etc ... et tu deduis le resultat !!
Pour

ben il faut retourner à mon avis au cors sur les series entières ...
regarde ici :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node1.html
Bonne chance ... !

par **barbu23** » 05 Mai 2008, 02:44

parceque à mon avis, ta serie s'ecrit comme ça :

( suite ) ... ben etudie la convergence de cette suite là ... ! n'est ce pas ... ?

par **ffpower** » 05 Mai 2008, 07:21

Le déterminant dans un Banach? :hum:

par **legeniedesalpages** » 05 Mai 2008, 10:51

Merci pour vos réponses.

Pour la 2), je crois que j'ai compris:

Pour tout entier

, on note

.

On a

,

or

quand

car

.

Donc

quand

.

tend vers un vecteur

quand

relativement à le norme

et l'application

de

dans

est continue.

Donc

.

On montre de même que

, ainsi

est inversible dans

et

.

Je regarde pour la 3)

par **legeniedesalpages** » 05 Mai 2008, 11:19

ffpower a écrit:Indic:se servir de la question 2 lol.Si u est inversible et v de norme petite alors u+v=u(id+vu^(-1)) or id+uv^(-1) est....Je te laisse compléter

là je ne comprends pas. :hein:

par **ffpower** » 05 Mai 2008, 11:54

On a u+v=u(id+vu^(-1)).On sait que u est inversible,il reste a voir si id+vu^(-1) est inversible lui aussi.Si on pose w=-vu^(-1),alors id+vu^(-1)=id-w
Or d apres la question 2...

par **legeniedesalpages** » 05 Mai 2008, 12:19

ffpower a écrit:On a u+v=u(id+vu^(-1)).On sait que u est inversible,il reste a voir si id+vu^(-1) est inversible lui aussi.Si on pose w=-vu^(-1),alors id+vu^(-1)=id-w
Or d apres la question 2...

ah oui, merci, donc d'après la question 2)

est inversible dès que

, ie

,
mais en quoi ça montre que

est intérieur à

?

par **ffpower** » 05 Mai 2008, 12:40

Et bien on a montrer que si v est de norme assez petite,u+v est dans G.C est précisément la définition de u interieur a G:Ya une boule centrée en u incluse dans G..

par **legeniedesalpages** » 05 Mai 2008, 12:55

ah oui c'est vrai, merci ffpower :)

par **barbu23** » 05 Mai 2008, 15:27

bonjour :
J'ai pas trop compris le principe pour montrer que la serie de legeniealpagesconverge dans

...
merci d'avance !!

par **legeniedesalpages** » 05 Mai 2008, 15:40

barbu23 a écrit:bonjour :
J'ai pas trop compris le principe pour montrer que la serie de legeniealpagesconverge dans ...
merci d'avance !!

Salut, ben c'est ton principe lol:

barbu23 a écrit:parceque à mon avis, ta serie s'ecrit comme ça : ( suite ) ... ben etudie la convergence de cette suite là ... ! n'est ce pas ... ?

sauf que l'écriture

n'a pas de sens pour les endomorphismes (division non définie), donc on a plutôt

par **barbu23** » 05 Mai 2008, 16:02

Ah oui, t'as parfaitement raison ... ! :dodo: :doh:

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