Espaces de Banach
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
par legeniedesalpages » 05 Mai 2008, 01:32
Bonsoir,
je bloque sur cet exercice:
Soit
un espace de Banach Et
, l'espace de Banach des applications linéaires continues de
dans
. On munit
de la norme d'opérateur induite par la norme de
.
1) Montrer que si
et
sont dans
,
.
2) Montrer que, si
, la série
converge dans
. En déterminer la limite.
3) Montrer que
est un ouvert de
.
Pour la 1) c'est ok, après pour la 2) je ne vois pas comment déterminer la limite. Pour la 3) je ne vois pas comment attaquer. :hein:
Merci pour votre aide.
-
ffpower
- Membre Complexe
- Messages: 2542
- Enregistré le: 13 Déc 2007, 05:25
-
par ffpower » 05 Mai 2008, 01:47
Indic:se servir de la question 2 lol.Si u est inversible et v de norme petite alors u+v=u(id+vu^(-1)) or id+uv^(-1) est....Je te laisse compléter
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 18:04
-
par barbu23 » 05 Mai 2008, 03:39
Ben pour
tu considères l'ensembles des endomorphismes à determinant non nul et le determinant est une application continue n'est ce pas ? et
est exactement le noyaux de ce detrminant ... etc ... et tu deduis le resultat !!
Pour
ben il faut retourner à mon avis au cors sur les series entières ...
regarde ici :
http://c.caignaert.free.fr/chapitre11/node1.htmlBonne chance ... !
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 18:04
-
par barbu23 » 05 Mai 2008, 03:44
parceque à mon avis, ta serie s'ecrit comme ça :
( suite ) ... ben etudie la convergence de cette suite là ... ! n'est ce pas ... ?
-
ffpower
- Membre Complexe
- Messages: 2542
- Enregistré le: 13 Déc 2007, 05:25
-
par ffpower » 05 Mai 2008, 08:21
Le déterminant dans un Banach? :hum:
par legeniedesalpages » 05 Mai 2008, 11:51
Merci pour vos réponses.
Pour la 2), je crois que j'ai compris:
Pour tout entier
, on note
.
On a
,
or
quand
car
.
Donc
quand
.
tend vers un vecteur
quand
relativement à le norme
et l'application
de
dans
est continue.
Donc
.
On montre de même que
, ainsi
est inversible dans
et
.
Je regarde pour la 3)
par legeniedesalpages » 05 Mai 2008, 12:19
ffpower a écrit:Indic:se servir de la question 2 lol.Si u est inversible et v de norme petite alors u+v=u(id+vu^(-1)) or id+uv^(-1) est....Je te laisse compléter
là je ne comprends pas. :hein:
-
ffpower
- Membre Complexe
- Messages: 2542
- Enregistré le: 13 Déc 2007, 05:25
-
par ffpower » 05 Mai 2008, 12:54
On a u+v=u(id+vu^(-1)).On sait que u est inversible,il reste a voir si id+vu^(-1) est inversible lui aussi.Si on pose w=-vu^(-1),alors id+vu^(-1)=id-w
Or d apres la question 2...
par legeniedesalpages » 05 Mai 2008, 13:19
ffpower a écrit:On a u+v=u(id+vu^(-1)).On sait que u est inversible,il reste a voir si id+vu^(-1) est inversible lui aussi.Si on pose w=-vu^(-1),alors id+vu^(-1)=id-w
Or d apres la question 2...
ah oui, merci, donc d'après la question 2)
est inversible dès que
, ie
,
mais en quoi ça montre que
est intérieur à
?
-
ffpower
- Membre Complexe
- Messages: 2542
- Enregistré le: 13 Déc 2007, 05:25
-
par ffpower » 05 Mai 2008, 13:40
Et bien on a montrer que si v est de norme assez petite,u+v est dans G.C est précisément la définition de u interieur a G:Ya une boule centrée en u incluse dans G..
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 18:04
-
par barbu23 » 05 Mai 2008, 16:27
bonjour :
J'ai pas trop compris le principe pour montrer que la serie de legeniealpagesconverge dans
...
merci d'avance !!
par legeniedesalpages » 05 Mai 2008, 16:40
barbu23 a écrit:bonjour :
J'ai pas trop compris le principe pour montrer que la serie de legeniealpagesconverge dans
...
merci d'avance !!
Salut, ben c'est ton principe lol:
barbu23 a écrit:parceque à mon avis, ta serie s'ecrit comme ça :
( suite ) ... ben etudie la convergence de cette suite là ... ! n'est ce pas ... ?
sauf que l'écriture
n'a pas de sens pour les endomorphismes (division non définie), donc on a plutôt
-
barbu23
- Membre Transcendant
- Messages: 5466
- Enregistré le: 18 Fév 2007, 18:04
-
par barbu23 » 05 Mai 2008, 17:02
Ah oui, t'as parfaitement raison ... ! :dodo: :doh:
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 16 invités