Espaces de Banach

[Aispor]

Bonjour



Je n'arrive pas à résoudre la question 2.a

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
C'est élémentaire à condition de savoir que désigne le dual topologique (et pas algébrique) de l'espace vectoriel normé , c'est à dire l'ensemble des applications linéaires continues (et pas l'ensemble de toutes les applications linéaires).

Bref, ta fonction est continue et ça signifie qu'il existe uen consytante telle que, pour tout on ait (et le plus petit tel , c'est, par définition, la norme de ).
Ensuite, si tu considère un entier naturel quelcoqnque et que tu considère la suite définie par alors on a clairement et donc .
Sauf que, vu la construction de , on a donc en fait et comme cete inégalité est vrai pour tout entier (et que ne dépend pas de ) ça prouve la convergence de et ça prouve même que la série converge vers une réel donc que vu qu'on peut prendre

[Yezu]

Bon retour parmi nous Ben !
Ça fait plaisir de te retrouver !

[Aispor]

Merci Ben ! bon retour parmi nous haha

[Aispor]

Re-bonjour,
Je suis bloqué à la question 3 ><
J'ai vu sur internet qu'il faudrait utiliser le théorème de hahn Banach que l'on a démontré à l'exercice précédent, mais je ne vois pas vraiment comment.
Il faudrait prolonger la fonction qui a été donnée.

Merci d'avance ! =)