Espace vectorielle

[nico2b]

Bonjour,

je n'arrive vraiment pas à me lancer dans cet exercice...pourriez vous me donner des pistes pour m'aider à débuter...

Voici l'énoncé :
Soit V un K -espace vectoriel de dimension finie et soit f : V -> V une application K-linéaire.On choisit une base Bk de Ker f et une base Bi de Im f.

1. On supose que f est different de 0 et que fof = 0
(a) Montrer que Ker f est different de V et Im f est inculs à Ker f
(b) En déduire que Bk union Bi n'est pas une base de V.

Voilà...

Par où commencer? je retourne la définiton de Ker f mais :triste: sa n'abouti à rien...

D'avance merci
Nico

[yos]

a) Kerf=V voudrait dire f nulle.
Prends un élément de Imf (un f(x) en somme) et applique lui f. What happens?
b) Les éléments de Bi s'expriment dans Bk, donc la liberté est mise à mal.

[nico2b]

Pour montrer que Ker f V
j'avais pensée à ceci ... mais je suis vmrnt pas sur

Comme f 0, on a que Ker f =
Or, V est un K-esp vectorielle et est donc formé d'un ensemble non vide (par definiton)

Ccl : Ker f V

[nico2b]

a) Kerf=V voudrait dire f nulle.
Prends un élément de Imf (un f(x) en somme) et applique lui f. What happens?

Pas trop non dsl...

Et pq dire que Ker f = V voudrait dire f nulle...Je ne voit pas trop.. :triste:

[yos]

Faut que que tu lises ton cours plus lentement. Le noyau, est formé des antécédents du vecteur nul. Si tout l'espace est dans le noyau, alors ton application linéaire est nulle partout.

[zorg]

Et précisons aussi que "espace" est masculin. :we:

[nico2b]

a) Kerf=V voudrait dire f nulle.
Prends un élément de Imf (un f(x) en somme) et applique lui f. What happens?

Dit comme ça je comprend mieux...Dsl mais il me faut bcp de français pour cette matière :triste: chose qu'il n'as pas dans mn cour

Mais j'ai compris mnt ça va merci

Et pour l'histoire d'au dessu ..ce qui se passe c'est que quand on lui apllique f il devient nul par fof = O c'est bien ça?

[yos]

ce qui se passe c'est que quand on lui apllique f il devient nul par fof = O c'est bien ça?

oui c'est ça.

[nico2b]

Et précisons aussi que "espace" est masculin. :we:

Lol k-espace vectoriel comme ceci c'est mieu? :p
En tt cas merci pour l'aide

[nico2b]

Le point 2 de l'énoncé le voici :

2. On suppose que fof = f

(a) Montrer que pour tout x Im f on a f(x) = x
(b) Montrer que Bk union Bi est une base de V

Pour le point (a) ça va j'y suis arrivé...

Pour le (b) je supose qu'il fat montré que Bk union Bi est une famille libre et génératrice mais j'ai du mal à écrire ça mathématiquement... :hein:

Merci d'avance pour l'aide
Nico

[yos]

libre ou génératrice (un des deux suffit pour des raisons de dimension).
On peut voir par exemple que tout vecteur x est somme d'un élément f(x) de Imf et d'un élément x-f(x) de Kerf.

[nico2b]

libre ou génératrice (un des deux suffit pour des raisons de dimension).

Du fait que la dimension est finie c'est bien ça?
Et on trouve ça au feeling ou avec l'expérience? lol
Ou alors par méthode...

En tt cas merci

[nico2b]

Un autre énoncé dit ceci :

Soit V un K-espace vectoriel de dimension finie n et (v&,...,vn) une base de V.
Soit f : V -> V une application K-linéaire. Dans chacun des cas (1) et (2) ci-dessous

- donner une base Bk de Ker f et une base Bi de Im f

avec (1) n = 2; f(v1) = 0 , f(v2) = v2
(2) n = 3; f(v1) = v3, f(v2) = 0 et f(v3) = -v1

Pour le cas (1) j'avais proposer Bk = (v1,v1)
Bi = (0,v2)

Et pour le cas (2) Bk = (v2,v2,v2)
Bi = (v3, 0, -v1)

Est-ce une erreur de faire ainis?

Merci d'avance
Nico

[yos]

Pour la question précédente, j'ai utilisé le fait que la somme des dimensions de Kerf et Imf est n. Mais on peut s'en passer.

Pour le cas (1) j'avais proposer Bk = (v1,v1)
Bi = (0,v2)

Et pour le cas (2) Bk = (v2,v2,v2)
Bi = (v3, 0, -v1)

Pour le cas (1), que signifie (v1,v1)??? Ce sont des vecteurs pas des coordonnées!
(V1) est une base de Kerf et (V2) une base de Imf.

Pour le cas (2), c'est pareil : (V2) base de Kerf et (V1,V3) base de Imf.

[nico2b]

Merci pour l'aide

Pour le cas (1), que signifie (v1,v1)??? Ce sont des vecteurs pas des coordonnées!

Je pensait ainsi obtenir une famille et comme n valait 2 je pensait qu'il fallait donc une famille à 2vecteurs obligatoirement...

[yos]

Deux fois le même vecteur dans une famille libre ça se peut pas! De plus 2 est la dimension de l'espace et pas du noyau ou de l'image.

[nico2b]

Ok merci pour les explications....ça m'est d'une grande aide

Et pour prouver que Bk union Bi est une base de V dans les deux cas, je montre que la famille est libre et génératrice...


Pour montrer qu'elle est libre je dois expliquer
a1 x1 + ... + an xn = 0 => ai = 0 pour tt i appartenant à 1,..,n
avec ai appartenan à K et xi appartenant à la famille

Et pr montrer qu'elle est génératrice je doit montrer que les combinaisons linéaires de la famille est égale à V

Est ce bien ça?

[yos]

Oui c'est la méthode générale, mais on peut parfois raccourcir (voir plus haut avec les dimensions).

[nico2b]

Est-ce bon si je justifie de la manière suivante que BkBi est une base de V pour le cas (1) ?


- La famille est génératrice :

- La famile est libre :
avec

Parce que en faisant comme ceci je ne pense pas avoir qqchose de concret :peur:

[yos]

Ben ya rien dans ton truc. Le cours recopié?
Pour le cas (1), tu veux montrer que la réunion d'une base du noyau et d'une base de l'image donne une base de V??? Car tu l'as pas mis dans l'énoncé. En tout cas c'est parfaitement évident puisque l'on part d'une base (V1,V2) de V et que (V1) est une base de Kerf, (V2) est une base de Imf.