Espace vectoriel

[dudule]

Tout d'abord bonjour à tous !!!!

Voici un exercice sur les espaces vectoriels et sur lequel je bloque complètement:

Dans l'espace vectoriel R^3 on considère les vecteurs suivants:
a1=(1,a,2a) a2=(a,1,a) et a3=(2a,2a,1) où a appartient à R
Il faut déterminer a pour que (a1,a2,a3) soit une base de R^3.


A mon avis il faut déterminer a pour que (a1,a2,a3) soit une famille libre et déterminer a pour que ce soit une famille génératrice. Cependant, je ne sais pas comment y arriver car j'arrive a des systèmes linéaires trés ( trop ? ) compliqués !!

[flight]

salut

c'est vieux comme notion pour moi , mais voici quelques idées à vérifier:
pour que le systeme donné soit une base , il faut qu'il soit generateur et libre
(on peut avoir l'un sans l'autre!)

generateur : il faut que tout vecteur de R^3 puisse s'ecrire comme combinaison linéaire des vecteurs ai pour i compris entre 1 et 3
soit V(x,y,z) un vecteur de R^3 alors , alors il existe alpha, beta et lambda
tels que
V=alpha.a1+beta.a2+lambda.a3

soit x=alpha+a.beta +(2a).lambda
y=a.alpha+beta +(2a).lambda
z=(2a)alpha+a.beta +lambda

la matrice associée au systeme est

(1 a 2a)
M (a 1 2a)
(2a a 1 )

le systeme admet alors une solution en x,y et z si detM diff de 0

je te laisse le calculer.

pour que le systeme soit libre il faut que SOM(µi.ai) =0 pour tout i c0mpris entre 1 et 3

[Anonyme]

ne suffit-il pas que le rang de la matrice formée par les 3 vecteurs soit égal à 3!

[Galt]

Comme c'est une famille à trois éléments d'un ev de dimension 3, elle est génératrice si et ssi elle est libre.
Cherchons une combinaison linéaire nulle. On a


.
La somme de ces trois lignes donc , donc si a est différent de , , puis par soustraction on trouve facilement que les trois coefficients sont nuls.
Si en revanche a est égal à , le système s'écrit (après multiplication par 3, je n'aime pas les fractions)



qui a pour solution évidente 1,1,1 et la famille est liée
Si tu as déjà vu les déterminants, tu peux aussi calculer le déterminant de ta matrice, et (1+3a) devrait apparaître