Espace vectoriel

[steph]

Bonjour
Je souhaiterais avoir votre avis sur la rédaction que je fais dans cet exercice. Est elle correcte et rigoureuse ?
De plus, dans la question 1) je suis bloqué sur la réciproque… je suis parti sur une idée mais est ce la bonne ?
Merci pour votre aide

Soit E un espace vectoriel possédant une base (i ;j) formée de 2 vecteurs st soit les 2 vecteurs :
u=ai+bj et v = ci+dj avec a,b,c,d des réels.
1) Démontrer que les vecteurs u et v engendrent E ssi le déterminant D c’est adire ad-bc est différent de zéro.
2) En déduire que l’on à l’équivalence entre les énoncés suivants :
(a) (u ;v) est une base E
(b) u et v engendrent E
(c) u et v sont indépendants


pour la question 1)
sens direct : si le déterminant est non nul
soit w un vecteur qcq de E. puisque (i ;j) est une base de E, le vecteur w s’écrit comme combinaison linéaire des vecteurs i et j.
donc w = ;) i + ;) j
formons le vecteur du-bv
du-bv = (da-bc) i + (db-bd) j = (da-bc) i = D i
ainsi i = (1/D) (du-bv)
de même en formant –cu+av on trouve j = (1/D) ( -cu+av)
on en déduit que tou vecteur w de E est tq :
w = ;) (1/D) (du-bv) + ;) (1/D) ( -cu+av)
soit w = (1/D) (;)d-;)c) u + (1/D) (-;)b+;)a) v
u et v étant clairement des vecteurs de E on en déduit de l’égalité ci dessus qu’ils engendrent E

réciproquement :
si u et v engendrent E alors un vecteur quelconque w de E est tq w = ;) u + ;) v
soit en remplaçant w = (;)a+;)c) i + (;)b+;)d) j
prenons deux vecteurs particuliers en posant ;) = 1 et ;)=0 (on retrouve u )
puis en posant ;) = 0 et ;)=1 (on retrouve v)
le déterminant est alors D=ad-bc

mais je suis bloqué pour dire qu’il est non nul ???

[Chimerade]

La démonstration directe est bonne.

Tu peux faire comme ceci pour la réciproque :
Supposons que et engendrent E. Alors quel que soit on peut trouver et tels que :

et engendrent E donc il existe et tels que :

Donc quels que soient les réels et , il existe et tels que :



Cela est équivalent à :



Pour que quels que soient et , il existe et vérifiant ces équations, il faut et il suffit que le déterminant (ad-bd) soit non nul.

[steph]

Merci mais ce n’est pas encore clair

Remarque une erreur de frappe sûrement mais D=ad-bc et non …ad-bd

Je comprend bien comment tu arrives au système et en disant que le déterminant est non nul cela implique l’unicité de ;) et ;)
Mais je ne vois pas en quoi le fait que D = 0 va poser problème..
On va trouver alors par exemple d =( ;)/;)) c et b =( ;)/;)) a car on peut supposer par exemple ;) non nul et ou est le pb ??

[Chimerade]

Remarque une erreur de frappe sûrement mais D=ad-bc et non …ad-bd

Très juste !

Je comprend bien comment tu arrives au système et en disant que le déterminant est non nul cela implique l’unicité de et
Mais je ne vois pas en quoi le fait que D = 0 va poser problème..
On va trouver alors par exemple d =( /;)) c et b =( /;)) a car on peut supposer par exemple non nul et ou est le pb ??

Attends ! D'abord, il ne s'agit pas d'une équation en d et b ! d et b sont donnés. Tu n'as pas le droit d'y toucher. Il s'agit de savoir si quels que soient et , il existe et vérifiant ces équations. Donc, outre a,b,c et d donnés, il faut supposer qu'on te donne et , et cela fait, tu dois trouver et dans tous les cas. Ceci n'est possible que si le déterminant est non nul. Je te rappelle que la non nullité du discrimant ne garantit pas uniquement l'unicité de la solution, il en garantit aussi l'existence ! Dans certains cas de figure, avec un déterminant nul, on peut trouver une infinité de solutions, mais dans d'autres cas, il n'y a aucune solution. Par exemple :

2x + y = 1
4x + 2y = 1

n'a pas de solution. Et :

2x + y = 1
4x + 2y = 2

a, lui, une infinité de solutions. Le seul moyen de garantir qu'un système a toujours une solution (c'est à dire quel que soient les seconds membres donnés) est que le déterminant soit non nul ! Et dans ce cas, c'est la cerise sur le gâteau, en prime, tu as l'unicité !

[steph]

ah oui c'est plus clair maintenant et
Merci pour la réponse
En fait je suis en TS et je fais ce type d’exo pour le plaisir ; dans un vieux bouquin de 2nd que j’ai trouvé !
je voudrais quand même savoir si ce que je propose est juste et comment me sortir de mon problème en suivant ce que je voulais faire... est ce possible?. Car j’ai pas le corrigé

pour la question 2)
la question 1) montre l ‘équivalence entre (b) et (c) car deux vecteurs sont indépendants ssi le déterminant dans la base B est non nul
l’implication (a) vers (b) est immédiate
pour montrer que (b) implique (a) on utilise le fait que (u,v) engendre E et que l’on a aussi (u,v) libre (puisque (b) équivaut à (c) )
donc système libre et générateur de E qui forme une base .

merci

[steph]

alors passionnés de maths ?
pouvez vouvez vous me dire si mon idée de démo est correcte pour le point 2)
merci