Espace vectoriel

[OnePunchMan]

Bonjour je bloque sur une question, pourriez-vous m’aide svp?

Je dois montrer que vect(u,v)=vect(s,t) avec u=(-4,4,3) , v=(-3,2,1), s=(-1,2,2) et t=(-1,6,7) de R^3

Merci

[aviateur]

Bonjour
L'exercice en fait demande à trouver une relation entre entre le couple (s,t) et le couple (u,v).
Or c'est facile de voir que s=u-v et t=4 u -5 v.
J'espère que tu vois maintenant pourquoi vect(u,v)=vect(s,t).

[OnePunchMan]

J’ai compris que s et t était des combinaisons linéaires de u et v mais je comprends pas en quoi cela fait que vect(u,v)=vect(s,t)

Vect(u,v) est l’ensemble des combinaisons linéaires de u et de v mais est est ce que vect(u-v,4u-5v) est également l’ensemble des combinaisons linéaires de u et de v?

[Sylviel]

En voyant que s et t sont des combinaisons linéaires de u et v tu as une inclusion entre les vect (laquelle et pourquoi ?).
Pour avoir l'autre il suffit de montrer que u et v sont ...

[OnePunchMan]

u et v sont ne sont pas colinéaires entre eux donc ils forment une famille libre.
s et t sont combinaisons linéaires de u et v donc s et t inclus dans vect(u,v)

[aviateur]

Rebonjour
En toute logique, le fait que u et v ne sont pas colinéaires n'intervient pas vraiment dans la démonstration.
Je t'ai donné la relation de (s, t) en fonction de (u,v). La relation inverse est facile à calculer, i.e
on a u=5s- t et v=4 s-t.
Cela te suffit pour conclure.
Finalement la question c'est : " que veut dire pour toi vect(u,v)"?

[OnePunchMan]

Pour moi vect(u,v) c’est l’ensemble des combinaisons linéaires de u et de v

[aviateur]

J’ai compris que s et t était des combinaisons linéaires de u et v mais je comprends pas en quoi cela fait que vect(u,v)=vect(s,t)

Vect(u,v) est l’ensemble des combinaisons linéaires de u et de v mais est est ce que vect(u-v,4u-5v) est également l’ensemble des combinaisons linéaires de u et de v?

Bon j'avais pas vu ça: Donc tu sais ce qu'est vect(u,v).

Alors un peu de logique :
s et t sont des CL de u et v. On en déduit que toute combinaison linéaire (CL) de s et t et une CL de u et v.
Autrement dit tout élément de vect(s,t) est dans vect(u,v).
L'inclusion inverse devrait aller tout seul.

[pascal16]

façon géométrie classique appliquée aux espaces vectoriels

le produit vectoriel : u ⋀ v = t ⋀ s ≠ 0
dit que -> u et v non liés, t et s non liés, les plans vectoriels engendrés sont les mêmes (même orthogonal)

[OnePunchMan]

D’accord je pense avoir compris, si vect(u,v) est inclus dans vect(s,t) et que vect(s,t) est inclus dans vect(u,v) alors par double inclusion vect(u,v)=vect(s,t)

[aviateur]

Rebonjour
Attention @pascal!

D’accord je pense avoir compris, si vect(u,v) est inclus dans vect(s,t) et que vect(s,t) est inclus dans vect(u,v) alors par double inclusion vect(u,v)=vect(s,t)

oui, c'est ça.

[pascal16]

il me semble que : u ⋀ v = -s⋀t= t ⋀ s =( -2;-5;4)T

[OnePunchMan]

D’accord merci pour votre aide

[aviateur]

il me semble que : u ⋀ v = -s⋀t= t ⋀ s =( -2;-5;4)T

Oui excuses- moi.