Espace Vectoriel

[mehdibj]

bonjour ,
dans mon cours d'algebre linéaire j'ai un théorème (admis) qui dit :
"tout espace vectoriel admet au moins une base "
on a pas démontrer ce théorème . Et puis j'ai du mal a imaginer une base pour l'ensemble des fonction continues sur R avec + et . par exemple.
Quel est la démonstration de ce théorème s'il vous plait . merci d’avance

[lionel52]

Tu fais bien de te poser des questions!

C'est le théorème de la base incomplète, il utilise l'axiome du choix qui est encore un axiome "contesté" par certains mathématiciens (mais accepté par la quasi totalité)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... pl%C3%A8te
https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix

Ca te donne l'existence d'une base pour ton EV mais certainement pas la gueule qu'il a !


Par contre pour aller plus loin, des espaces pas si différents dans l'esprit (les fonctions continues sur [0,2pi] ou sur autre intervalle), il me semble que l'on peut presque écrire que



Avec et les coefficients de Fourier de f
Après f est somme d'une infinité de termes, c'est pas une base (pour une base avec à partir d'un certain rang) mais c'est ce qu'on appelle base hilbertienne

L'égalité est pas vraiment vraie pour tout x, je suis pas très rigoureux y a des hypothèses quand même supplémentaires dont je me rappelle plus pour tout te dire mais ut vois l'esprit

[mehdibj]

je croix que ce n'est pas encore de mon niveau mais vu que j'ai déjà lu quelque chose qui parlait de l'axiome du choix je vois un peu se que tu veux dire je vais me documenter d’avantage merci pour ta réponse .