Espace vectoriel

par **dawad** » 26 Déc 2012, 21:42

Bonsoir à tous,
Pouvez vous s'il vous plait m'indiquer comment prouver que si L est un K-espace vectoriel, et que K et G sont isomorphes, alors L est aussi un G-espace vectoriel.
Merci d'avance

par **leon1789** » 26 Déc 2012, 21:56

Pour toi,
que signifie "K et G sont isomorphes" ? Dans quelle situation cela peut-il avoir un sens ?

par **dawad** » 26 Déc 2012, 22:10

leon1789 a écrit:Pour toi,
que signifie "K et G sont isomorphes" ? Dans quelle situation cela peut-il avoir un sens ?

Merci de me répondre Leon.
Par exemple il existe un isomorphisme f de K dans G.
Considérons le cas de figure suivant :
"Soit K un corps fini qui contient un sous-corps isomorphe à Z/PZ. Par suite, K est naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel sur Z/PZ."

par **leon1789** » 26 Déc 2012, 22:12

dawad a écrit:Par exemple il existe un isomorphisme f de K dans G.

oui, exact.

On continue : c'est quoi la définition d'un isomorphisme de K dans G ?

par **dawad** » 26 Déc 2012, 22:16

leon1789 a écrit:oui, exact.

On continue : c'est quoi la définition d'un isomorphisme de K dans G ?

Un morphisme bijectif.
Et qu'est ce qu'un morphisme :
morphisme d'anneau : f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), et f(element neutre de K)=element neutre de G

par **leon1789** » 26 Déc 2012, 22:18

dawad a écrit:Un morphisme bijectif.

oui, un morphisme entre quoi et quoi ?

dawad a écrit:Et qu'est ce qu'un morphisme :
morphisme d'anneau : f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), et f(element neutre de K)=element neutre de G

Non, là, tu présentes un morphisme d'anneaux (addition et multiplication internes).

par **dawad** » 26 Déc 2012, 22:21

leon1789 a écrit:oui, un morphisme entre quoi et quoi ?

Non, là, tu présentes un morphisme d'anneaux (addition et multiplication internes).

Oui, en lien avec le cas étudié. Et je ne comprends pas trop où tu veux en venir.. Un morphisme entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivé.

par **leon1789** » 26 Déc 2012, 22:42

dawad a écrit:Oui, en lien avec le cas étudié. Et je ne comprends pas trop où tu veux en venir.. Un morphisme entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivé.

oui, tu as raison, ce sont bien les corps qui sont isomorphes.

L'hypothèse est que L est équipé d'une multiplication externe avec les éléments de K :
pour tout

et

, il existe

On considère alors un isomorphisme de corps f entre K et G , ce qui permet de munir F d'une multiplication externe avec les éléments de G :
pour tout

et

, on pose

où

est l'antécédent de g dans K.

Cette multiplication externe donne bien une structure de G-espace vectoriel à L (il faut le vérifier, mais c'est simple, car l'isomorphisme f a les bonnes propriétés face à l'addition et la multiplication).

par **dawad** » 26 Déc 2012, 22:57

leon1789 a écrit:oui, tu as raison, ce sont bien les corps qui sont isomorphes.

L'hypothèse est que F est équipé d'une multiplication externe avec les éléments de K :
pour tout et , il existe

On considère alors un isomorphisme de corps f entre K et G , ce qui permet de munir F d'une multiplication externe avec les éléments de G :
pour tout et , il existe
où est l'antécédent de g dans K.

Cette multiplication externe donne bien une structure de G-espace vectoriel à F (il faut le vérifier, mais c'est simple, car l'isomorphisme f a les bonnes propriétés face à l'addition et la multiplication).

Merci beaucoup. Pourrais tu me donner un petit aperçu de la démonstration.. je ne vois pas trop comment faire pour obtenir le resutat souhaité.

par **leon1789** » 27 Déc 2012, 11:10

Pour toi, ça veut dire quoi "L est un G-espace vectoriel" ? (de manière "théorique")

PS. Tu as remarqué que, dans mon dernier message, j'ai écrit F à la place de L. C'était la fatigue du soir...

par **dawad** » 27 Déc 2012, 19:10

leon1789 a écrit:Pour toi, ça veut dire quoi "L est un G-espace vectoriel" ? (de manière "théorique")

PS. Tu as remarqué que, dans mon dernier message, j'ai écrit F à la place de L. C'était la fatigue du soir...

Aucun soucis. Merci de persévérer sur ce cas, je t'en suis reconnaissant.
L est un G espace vectoriel : L est muni d'une loi de groupe abélien. De plus est muni d'une loi de composition externe pour laquelle on a les relations
(a+b)x = ax + bx
a(x+y)=ax+ay
a(bx)=(ab)x
1x=x
où x,y appartiennent à L et a,b à G

par **leon1789** » 27 Déc 2012, 19:21

dawad a écrit:L est un G espace vectoriel : L est muni d'une loi de groupe abélien.
De plus est muni d'une loi de composition externe pour laquelle on a les relations
(a+b)x = ax + bx
a(x+y)=ax+ay
a(bx)=(ab)x
1x=x
où x,y appartiennent à L et a,b à G

ok

On sait déjà que L est groupe abélien. ok ?

Il reste donc à prendre x,y appartiennant à L et a,b à G et vérifier toutes les égalités, avec la multiplication externe G x L --> L , notée

,
qui est définie à partir de la multiplication externe K x L --> L , notée

,
comme je te l'ai dit au-dessus (message Hier 22h42)

par exemple pour là première égalité :

(car ...

(car ...

à toi pour le reste.

par **dawad** » 27 Déc 2012, 20:56

leon1789 a écrit:ok

On sait déjà que L est groupe abélien. ok ?

Il reste donc à prendre x,y appartiennant à L et a,b à G et vérifier toutes les égalités, avec la multiplication externe G x L --> L , notée ,
qui est définie à partir de la multiplication externe K x L --> L , notée ,
comme je te l'ai dit au-dessus (message Hier 22h42)

par exemple pour là première égalité :

(car ...

(car ...

(car ...

(car ...

à toi pour le reste.

Merci beaucoup Léon, c'est clair maintenant. Bonne soirée

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