Espace vectoriel

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 19:45

Si j'ai un ev E de dimension n sur un corps K (de dim finie disons k), peut-on dénombrer le nombre de vecteurs et de bases différentes de E?

Je ne vois pas du tout comment faire...

par **Doraki** » 10 Oct 2010, 19:50

Tu veux dire un corps de cardinal fini ?

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 20:00

Oui exactement, je me suis mal exprimée....

par **Doraki** » 10 Oct 2010, 20:03

Ben oui alors, on peut compter le nombre d'éléments de K^n, il y en a un nombre fini, non ?
Tu peux prendre un exemple avec K et n petits, tous les écrire, et les compter si tu vois pas comment faire autrement.

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 20:25

J'avais essayé en prenant E un ev de dimension 2 et K =Z/3Z qui possède 3 éléments, j'ai l'impression que K^2 a encore 3 éléments....
Mais mon problème vient du K^n, c'est quoi exactement, c'est un ev non?

par **Doraki** » 10 Oct 2010, 20:29

Bah K^n c'est comme K² sauf que 2 = n.
K^n c'est l'ensemble des n-uplets d'éléments de K.

(Z/3Z)², c'est l'ensemble des paires d'éléments de Z/3Z.
Il y a plus que 3 éléments. Par exemple on a (0,0), (1,0), (0,1), (2,1), etc.
Ca en fait déjà 4.

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 20:34

Oulala ca va mal, oui donc il y a k^n éléments dans K^n.
Mais ce qui me gene, c'est que je ne vois pas bien pourquoi on considere K^n pour trouver le nombre de vecteurs de E....il y a qqch qui m'échappe là.

par **Doraki** » 10 Oct 2010, 20:42

Aaah d'accord.
Est-ce que tu comprends pourquoi K^n est un K-espace vectoriel de dimension n ?

Est-ce que tu comprends comment, si on a un K-ev E, muni d'une base (e1,e2,...,en), alors l'existence de cette base permet de décrire un isomorphisme entre E et K^n ?

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 20:56

K^n espace vectoriel de dim n sur K, oui je vois.
Ensuite j'ai effectivement la propriété E isomorphe a K^n dans mon cours mais j'ai pas la démo et je ne suis pas sûre de savoir la faire....

Mais si je suppose donc que E isomorphe a K^n, alors il y a k^n vecteurs dans E et autant de bases dans E que dans K^n, et autre probleme, je ne sais pas comment on determine le nombre de bases d'un ev....

par **Ben314** » 10 Oct 2010, 21:07

Salut,
Je t'aide un peu :
Pour construire une base "à la main" on peut :
1) Choisir un premier vecteur non nul (combien de possibilités ?).
2) Choisir un deuxième vecteur qui n'est pas dans la droite vectorielle engendré par le premier vecteur (combien de possibilités ?).
3) Choisir un troisième vecteur qui n'est pas dans le plan vectoriel engendré par les deux premiers vecteurs (combien de possibilités ?).
etc

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 21:26

D'abord merci à tous les 2 pour votre aide, je ne suis pas encore parvenue à mes fins mais :
1) il y a k^n -1 possibilités pour choisir le vecteur non nul
2) là, je ne suis pas sûre, je dirais k^n - k - 1 possibilités pour ce deuxième vecteur....
3) k^n - k^2 -1 ?
....
et donc on aurait ( k^n -1)(k^n - k -1)(k^n - k^2 - 1)......(1) possibilités ?

par **Ben314** » 10 Oct 2010, 22:29

C'est "presque" ça :
Une droite vectorielle est un e.v. de dim 1 donc contient k éléments.
Pour choisir un vecteur qui n'est pas dans la droite, il y a donc k^n-k possibilités (le vecteur nul est naturellement enlevé, vu qu'il fait parti de la droite).
Idem pour le troisième vecteur où il y a k^n-k^2 possibilités.

Ensuite, il faut effectivement faire le produit.

par **lisonn** » 10 Oct 2010, 22:42

Ok j'ai compris.
Merci beaucoup!

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