Espace vectoriel - projecteur - dimension

[capitaine nuggets]

Tu décomposes simplement e_2 et e_3 dans la somme directe E=Im(p) (+) R.e_1
La première composante est par définition l'image par p.

Ah oui d'accord !

Juste une petite question entre parenthèse :

Il nous est souvent rappeler que l'on peut décomposer sous la forme .
Mais je ne comprends pas bien pourquoi il est rajouter que le premier terme appartient à et le second à ... :triste:

Ensuite, pour la réciproque et la dimension de l'espace engendré par X, tu as trouvé ?

En ce qui concerne, la réciproque, je dois montrer que, quel que soit et ,
pour , c'est bien ça ?

[L.A.]

Quand tu écris la décomposition x = p(x)+(x-p(x)) seule, ça ne t'apprend rien, tu as simplement ajouté et soustrait le même terme p(x) à x. Ce qui est intéressant, c'est que cette décomposition est LA décomposition dans la somme directe correspondant à p, tu sais exactement où vivent les deux composantes.

[quote]En ce qui concerne, la réciproque, je dois montrer que, quel que soit a et b, ker(p)=0
pour p(x,y,z)=(-ay-bz,y,z), c'est bien ça ?[\quote]

Tu dois montrer que ker(p) = Re_1 et que p est bien un projecteur (il y a un moyen très simple, sans passer par image et noyau, avec pop)

[capitaine nuggets]

Quand tu écris la décomposition x = p(x)+(x-p(x)) seule, ça ne t'apprend rien, tu as simplement ajouté et soustrait le même terme p(x) à x. Ce qui est intéressant, c'est que cette décomposition est LA décomposition dans la somme directe correspondant à p, tu sais exactement où vivent les deux composantes.

D'accord mais pourquoi appartient-il à dans ce cas ?
Parce que ?

Tu dois montrer que ker(p) = Re_1 et que p est bien un projecteur (il y a un moyen très simple, sans passer par image et noyau, avec pop)

Ah oui, la fameuse CNS des projections : projecteur équivaut à .
Oui : c'est trivial de montrer ça :++:

En conclusion, on a montré que tels que .
Et du coup, en quoi cela nous a-t-il servis pour trouver la dimension de ?

[L.A.]

x-p(x) appartient à ker(p) parce que pop=p !

Pour la dimension, encore un petit travail. Je te suggère d'écrire la matrice de cet élément de X dans la base canonique, puis de voir quelles sont les matrices que tu peux engendrer comme combinaisons linéaires des éléments de X et d'en trouver une base.

[capitaine nuggets]

x-p(x) appartient à ker(p) parce que pop=p !

Pour la dimension, encore un petit travail. Je te suggère d'écrire la matrice de cet élément de X dans la base canonique, puis de voir quelles sont les matrices que tu peux engendrer comme combinaisons linéaires des éléments de X et d'en trouver une base.

Alors :

;
;
.

Donc la matrice représentative de dans la base canonique de est :



Après, je ne comprends pas bien ce que tu veux que je fasse mais vu qu'on a deux variable ( et ), je dirais que

[L.A.]

OK pour la matrice M(a,b), pas pour la dimension.

Un élément de Vect(X) est une combinaison linéaire de matrices de la forme M(a,b) pour divers a,b (c'est une autre définition du "Vect", plus commode que celle par intersections)
Par exemple 3M(2,7)-5M(6,9)+12M(23,59) est un élément de Vect(X).

Tu dois déterminer quelles sont toutes les matrices de Vect(X), puis trouver une base de ce sev, et tu auras la dimension.

Par exemple, vu que les matrices M(a,b) ont beaucoup de 0, tu sais que les matrices de Vect(X) ont beaucoup de 0 aussi.

[capitaine nuggets]

OK pour la matrice M(a,b), pas pour la dimension.

Ensuite, un élément de Vect(X) est une combinaison linéaire de matrices de la forme M(a,b) pour divers a,b (c'est une autre définition du "Vect", plus commode que celle par intersections)
Par exemple 3M(2,7)-5M(6,9)+12M(23,59) est un élément de Vect(X).

Tu dois déterminer quelles sont toutes les matrices de Vect(X), puis trouver une base de ce sev, et tu auras la dimension.

Par exemple, vu que les matrices M(a,b) ont beaucoup de 0, tu sais que les matrices de Vect(X) ont beaucoup de 0 aussi.

Alors là, je ne vois pas du tout comment déterminer toutes les matrices de Vect(X) :help:
Vu que a et b sont deux réels, il y en a une infinité !

P.S. : Je ne comprends pas bien ce que tu entends pas "plus commode que celle par intersections".

[L.A.]

Vu que a et b sont deux réels, il y en a une infinité !

Oui mais c'est normal, puisque Vect(X) est un espace vectoriel ; déterminer toutes les matrices ne veut pas forcément dire les écrire toutes, mais les caractériser.
Déjà, est-ce que tu connais une base simple de L(E) (sous forme matricielle) et sa dimension ?

Pour ton P.S., Vect(X) est défini de deux manières
- "par le haut" : c'est le plus petit sev contenant X, autrement dit l'intersection de tous les sev contenant X.
- "par le bas" : c'est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de X.

[capitaine nuggets]

Déjà, est-ce que tu connais une base simple de L(E) (sous forme matricielle) et sa dimension ?

Heu, je ne crois pas non :triste:

[capitaine nuggets]

Après mûre réflexion, je ne sais pas si ma formulation est exacte mais, on peut "identifier" à car on peut identifier un endomorphisme à sa matrice représentative .

Or donc .

De plus, si je ne pense pas connaître une base de l'espace vectoriel , j'en connais une de : la base canonique !

Si je ne dis pas de bêtises, la base canonique de est :

; ; ;

; ; ;

; ; .

(J'ai du mal à exprimer pour allant de à de manière générale donc je les note toutes)

Du coup, je conjecture qu'une base de serait formé des neufs applications ( est identifié à )

; ; ;
; ; ;
; ; ;


Ai-je bon de dire tout cela ?

[Luc]

Oui,

tes sont plutôt notées , et s'appellent les matrices élémentaires.

Ici donc le problème peut être traité sous forme matricielle, mais il ne serait pas plus difficile de traiter le même problème dans E un R espace vectoriel général de dimension 3, en raisonnant directement sur les endomorphismes.

[L.A.]

OK. Donc pour résumer on a

- un espace vectoriel F = L(E) ou M_3(R) (ce qui revient au même ici vu qu'on a fixé une base de E) ou même R^9 (puisqu'une matrice 3x3 peut être vue comme une liste de 9 coefficients rangés dans un tableau)

- un ensemble X de vecteurs de F : l'ensemble des projecteurs de noyau R.e_1 ou l'ensemble des matrices M(a,b) pour a,b réels.

- le sous-espace vectoriel Vect(X) engendré par cet ensemble dans F qui est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de X.

On veut la dimension de Vect(X), pour cela il faut en trouver une base.
Par exemple, vu la forme des matrices M(a,b), tu peux vérifier facilement que (avec tes notations)
Vect(X) est inclus dans le sev R.E_2 + R.E_3 + R.E_5 + R.E_9 de M_3(R) de dimension 4.
Il faut juste être un peu plus précis...

[capitaine nuggets]

OK. Donc pour résumer on a

- un espace vectoriel F = L(E) ou M_3(R) (ce qui revient au même ici vu qu'on a fixé une base de E) ou même R^9 (puisqu'une matrice 3x3 peut être vue comme une liste de 9 coefficients rangés dans un tableau)

- un ensemble X de vecteurs de F : l'ensemble des projecteurs de noyau R.e_1 ou l'ensemble des matrices M(a,b) pour a,b réels.

- le sous-espace vectoriel Vect(X) engendré par cet ensemble dans F qui est l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de X.

On veut la dimension de Vect(X), pour cela il faut en trouver une base.
Par exemple, vu la forme des matrices M(a,b), tu peux vérifier facilement que (avec tes notations)
Vect(X) est inclus dans le sev R.E_2 + R.E_3 + R.E_5 + R.E_9 de M_3(R) de dimension 4.
Il faut juste être un peu plus précis...

Entièrement d'accord. Donc .
En quoi faudrait-il être plus précis ?

[L.A.]

Non, la dimension n'est pas 4... (attention j'ai dit "inclus" pas "égal")

[capitaine nuggets]

Non, la dimension n'est pas 4... (attention j'ai dit "inclus" pas "égal")

Donc du coup, que nous manque-t-il pour trouver la dimension ?

[L.A.]

Considère la famille {M(0,0),M(1,0),M(0,1)}...

[capitaine nuggets]

Considère la famille {M(0,0),M(1,0),M(0,1)}...

Elle est libre et génératrice, c'est donc une base de .
En quoi cela peut-il me servir ?

[L.A.]

Ah bon ? Tu trouves une base de M_3(R) de cardinal 3 alors que tu as dis qu'il était de dimension 9 ?

La famille que je t'ai donnée est une base de Vect(X) (prouve-le), donc ce sev est dimension 3 et non pas 4.

[capitaine nuggets]

Ah bon ? Tu trouves une base de M_3(R) de cardinal 3 alors que tu as dis qu'il était de dimension 9 ?

La famille que je t'ai donnée est une base de Vect(X) (prouve-le), donc ce sev est dimension 3 et non pas 4.

Oulà oui ! Erreur de frappe, je voulais bien dire de !

Heu par contre, j'ai un peu perdu le fil sur cette question 2°/
Peux-tu me rappeler les différentes étapes pour montrer que stp

[L.A.]

OK. Donc pour résumer, on a commencé par écrire tous les éléments de X sous forme matricielle (les matrices M(a,b)), puis on en a déduit trois éléments de X qui forment une base de l'espace vectoriel engendré Vect(X), donc Vect(X) est de dimension 3.

Tu as tout compris ? Y a-t-il d'autres questions ?