Espace vectoriel - projecteur - dimension

[capitaine nuggets]

Bonjour, je bloque complètement sur cet exo :

Soient et la base canonique de .
On considère l'ensemble de tous les projecteurs de tel que .

1°/ est-il un sous-espace vectoriel de ? Justifier précisément la réponse.

En essayant de chercher j'ai été amené à me poser la question suivante :
Si alors a-t-on ?

Merci d'avance pour ceux qui voudront bien m'aider :++:

[leon1789]

si f est une application linéaire et {e1,e2,e3} une base (ou plus généralement un système générateur) de E alors

Du coup,
Si alors on a

[L.A.]

Bonjour,

La réponse (à ta question de départ) tient en une ligne.
Par exemple, est-ce que la différence de deux projecteurs de noyau R.e_1 est encore un projecteur ? de noyau R.e_1 ?

[capitaine nuggets]

si f est une application linéaire et {e1,e2,e3} une base (ou plus généralement un système générateur) de E alors

Du coup,
Si alors on a

- Et si on avait eu un autre noyau, quel aurait été l'image ?
- Donc ma proposition est fausse ? On n'a pas nécessairement ?
Pourtant le et sont deux sev supplémentaires de ...

J'ai du mal à voir où tout cela nous mène...

Bonjour,

La réponse (à ta question de départ) tient en une ligne.
Par exemple, est-ce que la différence de deux projecteurs de noyau R.e_1 est encore un projecteur ? de noyau R.e_1 ?

Heu, je ne sais pas ... comment savoir ?

[L.A.]

Un autre indice :

si deux applications linéaires f et g de E dans F ont le même noyau H = ker f = ker g
alors le noyau de (f+g) contient forcément H mais peut contenir plus.

[capitaine nuggets]

Un autre indice :

si deux applications linéaires f et g de E dans F ont le même noyau H = ker f = ker g
alors le noyau de (f+g) contient forcément H mais peut contenir plus.

Donc en gros .
Mais je ne vois pas très bien le rapport avec ta proposition concernant la différence de deux projections f et g de même noyau R.e_1...

[L.A.]

Somme ou différence, cela revient au même.

Il y a de très nombreuses manières de résoudre la question, je te propose seulement plusieurs pistes.

En voici encore deux autres (là tu devrais trouver je pense) :

Si p est un projecteur, est-ce que 2p en est un également ?
Est-ce que 0 appartient à X ?

[emdro]

Si alors a-t-on ?

Bonjour,

Pour répondre à la question que tu as posée : penses-tu qu'une droite vectorielle ait un seul supplémentaire ?


Essaie d'avoir tant que possible une vision géométrique. Ici, on est en dimension 3, donc c'est facile.
Dès qu'un plan vectoriel est en somme directe avec ta droite vectorielle (i.e. la droite n'est pas incluse dans le plan), à cause des dimensions, le plan et la droite seront supplémentaires.
Ta question revient donc à "existe-t-il un seul plan vectoriel ne contenant pas une droite donnée".
Qu'en penses-tu a posteriori ?

Pour finir de te convaincre, considère : , par exemple.

[capitaine nuggets]

Somme ou différence, cela revient au même.

Il y a de très nombreuses manières de résoudre la question, je te propose seulement plusieurs pistes.

En voici encore deux autres (là tu devrais trouver je pense) :

Si p est un projecteur, est-ce que 2p en est un également ?
Est-ce que 0 appartient à X ?

Oui ! Si p est un projecteur alors 2p en est un aussi.
Par contre, j'avais déjà essayer de savoir si 0 appartient à X ou pas mais sans résultat...


(Quand tu dis 0, tu sous-entends la projection nulle ?)

[Doraki]

Oui ! Si p est un projecteur alors 2p en est un aussi.

Ah bon ? c'est quoi la définition d'un projecteur ?

Pour 0 c'est l'application nulle, qui prend un vecteur et qui renvoie 0. Est-ce que c'est un projecteur et est-ce que ce projecteur est dans X ?

[L.A.]

Par 0 je veux dire l'endomorphisme nul, c'est à dire l'élément de L(E) qui envoie tout vecteur x de E sur l'élément neutre 0 de E. Il s'agit de l'élément neutre de l'ev L(E).

Quel est le noyau de l'endomorphisme 0 ?
Du coup, est-ce que cet endomorphisme est dans X ?
Du coup, est-ce que X peut être un sev de L(E) ?

Attention, si p est un projecteur, alors 2p n'en est pas un en général.

EDIT : je fais doublon, tant pis...

[capitaine nuggets]

Bonjour,

Pour répondre à la question que tu as posée : penses-tu qu'une droite vectorielle ait un seul supplémentaire ?

Bien évidemment que non !

Essaie d'avoir tant que possible une vision géométrique. Ici, on est en dimension 3, donc c'est facile.
Dès qu'un plan vectoriel est en somme directe avec ta droite vectorielle (i.e. la droite n'est pas incluse dans le plan), à cause des dimensions, le plan et la droite seront supplémentaires.
Ta question revient donc à "existe-t-il un seul plan vectoriel ne contenant pas une droite donnée".
Qu'en penses-tu a posteriori ?

Pour finir de te convaincre, considère : , par exemple.

Ah, eh bien non, il existe une infinité de ces plans

Ah bon ? c'est quoi la définition d'un projecteur ?

Je me place sur .
On appelle projection sur parallèlement à l'application qui à tout se décomposant de manière unique sous la forme avec , associe .

De plus, , et est un endomorphisme de mais je ne sais pas si je suis censé le rajouter pour la définition.

Pour 0 c'est l'application nulle, qui prend un vecteur et qui renvoie 0. Est-ce que c'est un projecteur et est-ce que ce projecteur est dans X ?

Je ne sais pas : et donc d'après mes notations précédentes, "serait" la projection sur parallèlement à ...

Par 0 je veux dire l'endomorphisme nul, c'est à dire l'élément de L(E) qui envoie tout vecteur x de E sur l'élément neutre 0 de E. Il s'agit de l'élément neutre de l'ev L(E).

Quel est le noyau de l'endomorphisme 0 ?
Du coup, est-ce que cet endomorphisme est dans X ?
Du coup, est-ce que X peut être un sev de L(E) ?

Attention, si p est un projecteur, alors 2p n'en est pas un en général.

EDIT : je fais doublon, tant pis...

-
- Ah ben non alors !
- Du coup, si alors ne peut-être sev de

Par contre, je ne comprends pas bien pourquoi :
projecteur n'implique pas (en général) projecteur...



Merci à vous pour vos aides & explications !

[L.A.]

Supposons que p : E -> E est un projecteur sur F par rapport à un supplémentaire G de F, et que F n'est pas le sev réduit à {0}.

p et q=2p sont des applications linéaires qui ont même noyau, ici G, et même image, ici F.
donc si q était un projecteur, on aurait q(x)=x pour tout x de F (un projecteur agit toujours comme l'identité quand on le restreint à son image)
Mais on a q(x) = 2p(x) = 2x différent de x si x appartient à F privé de {0}.
donc q n'est pas un projecteur.

[capitaine nuggets]

Supposons que p : E -> E est un projecteur sur F par rapport à un supplémentaire G de F, et que F n'est pas le sev réduit à {0}.

p et q=2p sont des applications linéaires qui ont même noyau, ici G, et même image, ici F.
donc si q était un projecteur, on aurait q(x)=x pour tout x de F (un projecteur agit toujours comme l'identité quand on le restreint à son image)
Mais on a q(x) = 2p(x) = 2x différent de x si x appartient à F privé de {0}.
donc q n'est pas un projecteur.

Ah ok, je vois merci pour cette précieuse information :++:

Voici la deuxième question (de plus en plus complexe et tordue ^^)

2°/ On pose . Quel est la dimension de ?

Alors là, aucune idée de comment commencer.
Je sais juste que est le plus petit ev contenant (au sens de l'inclusion).

_______________________________________________________________________________________

Je reviens deux secondes au cas de l'endomorphisme nul .

Considère et telle que .

Si j'ai bien compris est une projection de si et seulement si et ?

Dans ce cas, pourquoi, quand tu as voulu me montrer pourquoi n'était pas un projecteur si en était un, que est non réduit à ?

[L.A.]

Je n'ai pas dit que 2p n'est JAMAIS un projecteur quand p en est un, j'ai dit que EN GENERAL 2p n'est pas un projecteur si p en est un. Justement p=0_L(E) est le seul projecteur tel que 2p est aussi un projecteur (puisque 2p=0_L(E)), et c'est pourquoi il faut l'éviter si on veut un contre exemple.

Pour la suite, je te suggère de prouver dans un premier temps que si p est un élément de X, alors il existe deux réels a et b tels que p(x,y,z) = (ay+bz, y, z), et que réciproquement, pour tous réels a et b, l'endomorphisme p de E définit par cette formule est bien un élément de X.

[capitaine nuggets]

Pour la suite, je te suggère de prouver dans un premier temps que si p est un élément de X, alors il existe deux réels a et b tels que p(x,y,z) = (ay+bz, y, z), et que réciproquement, pour tous réels a et b, l'endomorphisme p de E définit par cette formule est bien un élément de X.

Je suis sûr que c'est à cause du fait que mais je ne vois pas comment le prouver :triste:

[L.A.]

Pour le sens direct, si p est un projecteur de noyau R.e_1 alors
e_2 = p(e_2)+a.e_1
e_3 = p(e_3)+b.e_1
La réciproque est facile.

[capitaine nuggets]

Salut !

Pour le sens direct, si p est un projecteur de noyau R.e_1 alors
e_2 = p(e_2)+a.e_1
e_3 = p(e_3)+b.e_1
La réciproque est facile.

Du coup,

Or donc et par suite :



J'ai bon ?


Cependant, comment as-tu trouvé tes deux égalités ?

[L.A.]

Oui c'est ça (j'aurais du écrire -a et -b pour être plus cohérent).

Tu décomposes simplement e_2 et e_3 dans la somme directe E=Im(p) (+) R.e_1
La première composante est par définition l'image par p.

Ensuite, pour la réciproque et la dimension de l'espace engendré par X, tu as trouvé ?

[capitaine nuggets]

Tu décomposes simplement e_2 et e_3 dans la somme directe E=Im(p) (+) R.e_1
La première composante est par définition l'image par p.

Ah oui d'accord !

Juste une petite question entre parenthèse :

Il nous est souvent rappeler que l'on peut décomposer x sous la forme x=p(x)+(x-p(x)).
Mais je ne comprends pas bien pourquoi il est rajouter que le premier terme p(x) appartient à Im(p) et le second x-p(x) à ker(p) ... :triste:

Ensuite, pour la réciproque et la dimension de l'espace engendré par X, tu as trouvé ?

En ce qui concerne, la réciproque, je dois montrer que, quel que soit a et b, ker(p)=0
pour p(x,y,z)=(-ay-bz,y,z), c'est bien ça ?