Espace Vectoriel normé: une "énigme"

[Godot]

Soit E un evn de dimension quelconque. F un sous espace vectoriel de E. Nous pouvons parfaitement considérer que F est un evn, lui même. C'est un espace vectoriel et il dispose de la norme induite. Ainsi, F peut être considéré comme evn, indépendemment de E. Et alors, F est muni de la topologie classique, résultant de la norme. De ce fait, en tant qu'espace topologique, il est à la fois ouvert et fermé !!! Ce résultat est faux, bien sûr. Dans C[0,1], le sous espace des polynomes est un sevn, qui n'est pas fermé: toute fonction continue est limite d'une suite de polynome (Weirstrass). Mais je n'arrive pas à trouver la faille du raisonnement du début de ce message, qui conduit à dire que tout sevn d'un evn est à la fois ouvert et fermé. Mes vifs remerciement pour tout aide à trouver l'erreur dans le raisonnement.

[Nightmare]

Salut,

"de ce fait, en tant qu'espace topologique, il est à la fois ouvert et fermé dans lui même"

voilà ce qu'il te manquait !
:happy3:

[Godot]

Merci, mais alors pour le cas du sous ev des polynomes, considéré comme evn, est ce qu'il est ouvert et ferme dans lui même ? Non, puisqu'il y a des suites de polynomes qui converge en dehors du sev des polynomes. Donc il n'est pas fermé en lui meme. Merci me dire ce que tu en penses.

[Doraki]

Tous les espaces topologiques sont ouverts et fermés dans leur propre topologie par définition.

Le fait que le sev des polynômes soit fermé dans lui-même n'a aucun rapport avec s'il est fermé ou non dans la topologie de C([0,1]) induite par la norme que t'as choisi.

[Godot]

Je suis bien d'accord sur la définition. Je n'arrive pas à comprendre que l'espace vectoriel des polynomes, muni d'une des normes classiques, constituant ainsi un evn, donc un espace topologique, ne soit pas fermé. Je ne vois pas ou est la faille. Merci pour votre avis.

[Doraki]

Je suis bien d'accord sur la définition. Je n'arrive pas à comprendre que l'espace vectoriel des polynomes, muni d'une des normes classiques, constituant ainsi un evn, donc un espace topologique, ne soit pas fermé. Je ne vois pas ou est la faille. Merci pour votre avis.

Bien sur que si il est fermé dans lui-même par définition.
Je vois pas où tu vas chercher que F n'est pas fermé dans F.

[Nightmare]

Non, puisqu'il y a des suites de polynomes qui converge en dehors du sev des polynomes. Donc il n'est pas fermé en lui meme. Merci me dire ce que tu en penses.

Attention, la définition métrique d'un espace fermé c'est :

F est fermé dans E si toute suite de F qui converge (c'est à dire, à une limite dans E) a sa limite dans F

Donc oui, il existe des suites de polynômes qui ne convergent pas vers des polynômes, mais dans ce cas, dans l'espace des polynômes ces suites sont divergentes !

[Godot]

Dans un evn fermé F, toute suite d'élement de F converge vers un élement de F. Or il y a une infinité de suite de polynomes qui ne converge pas vers un polynome (th de Weierstrass). C'est pour ça q'il me semble que l'evn des polynomes n'est pas fermé. Je me trompe ?

[Doraki]

Dans un evn fermé F, toute suite d'élement de F converge vers un élement de F.

o_o
Dans R, la suite (1, 2, 3, ...) j'crois pas qu'elle converge, alors que R est fermé dans lui-même.


F est fermé dans E, ça veut dire que si une suite (xn) d'éléments de F converge vers un élément l de E, alors l était en fait dans F.

De voir qu'il y a une suite de polynômes qui converge vers une fonction continue qui n'est pas un polynôme, ça dit que le sev des polynômes n'est pas fermé dans l'evn des fonctions continues.
Et dire que pour toute suite de polynômes qui converge vers un polynôme, ben ce polynôme est un polynôme, c'est complètement trivial et ça dit bien que le sev des polynômes est fermé dans le sev des polynômes.

[Nightmare]

Dans un evn fermé F, toute suite d'élement de F converge vers un élement de F.

Non ! C'est sûr que si tu ne connais pas les bonnes définitions, tu ne pourras pas trouver de choses cohérentes.

Dans un evn fermé F, toute suite d'élément de F qui converge, converge vers un élément de F

Edit : Au passage, un espace où toute les suites sont convergentes est forcément fini...
Edit 2 : Que dis-je, il est même forcément réduit à un point.

[Godot]

Mille Merci Doraki et Nigthmare: j'ai cerné ma faille en effet, qui m'a donné du fil à retordre. Je tiens mieux les choses de mon cours de topologie avec ce dérapage et cette bonne reprise en main.