Espace vectoriel normé et un ouvert

[Goliath]

Bonjour,

Je n'arrive pas à faire un exercice, un peu d'aide ne serai pas de refus:

On considère un espace vectoriel normé V et un ouvert O de V distinct de V.
(a) Montrer que pour tout point a de O, l'ensemble des > 0 tels que la boule ouverte centrée en a et de rayon inclus dans O possède un maximun M(a).
(b) Montrer que pour a,b O on a | M(b) - M(a) | || b - a ||.

Pour la (a) j'ai voulu construire une fonction continue et montré quelle est majorée mais je ne vois pas de fonction qui marche dans mon cas.
Et pour la (b) je n'ai pas réussi à avoir de piste pour commencer un raisonnement qui me permettrais de le prouver.

Merci d'avance pour votre aide.

[aviateur]

Bonjour
(a) Par hypothèse il existe , Posons r=||a-v||. v n'appartient pas à la boule ouverte de rayon r. Ce qui montre que l'ensemble des \epsilon de l'énoncé est majoré par r et admet donc un sup
noté M(a). Il est facile de voir que ce sup est un max.

(b) Supposons que M(b)> M(a). Si l'inégalité est fausse alors M(b)>||b-a||+M(a).
Cela implique que la boule de centre a et de rayon M(a) est strictement incluse dans celle de B et de rayon M(b).
Ce qui n'est pas possible par définition de M(a).

[Goliath]

Merci