Espace vectoriel, matrice, application lin.

[emilie59000]

Bonjour, pouvez vous m'aider à résoudre l'exercice ? Merci d'avance. Je me suis stoppé à la question 3 mais je ne suis pas sur des premieres :/

On se place sur l'espace vectoriel R^n avec n entier >ou=à 2. On munit R^n de sa base canonique B=(e1,...,en) On definit le vecteur v par : v=e1+...+en
On definit alors l'endomorphisme f de Rn par : pour tout i variant de 1 à n-1,
f(ei)=en et f(en)=v

1) Déterminer f²(ei),f^3(ei).
2)Déterminer la matrice A representant f dans la base canonique et donner le rang de l'endomorphisme f. De meme, determiner la matrice B de f².
3)Donner si cela est possible une base de Im(f), de Ker(f) et de ker(f)interIm(f).
4)Soit p un entier naturel non nul. Montrer qu'il existe deux nombres reel ap et bp tels que f^p=ap*f^2+bp*f. Determiner les suites (ap) et (bp).
5) Discuter de la valeur du rang de la matrice A-wIn en fonction des valeurs de w.

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonjour, pouvez vous m'aider à résoudre l'exercice ? Merci d'avance. Je me suis stoppé à la question 3 mais je ne suis pas sur des premieres :/

On se place sur l'espace vectoriel R^n avec n entier >ou=à 2. On munit R^n de sa base canonique B=(e1,...,en) On definit le vecteur v par : v=e1+...+en
On definit alors l'endomorphisme f de Rn par : pour tout i variant de 1 à n-1,
f(ei)=en et f(en)=v

1) Déterminer f²(ei),f^3(ei).
2)Déterminer la matrice A representant f dans la base canonique et donner le rang de l'endomorphisme f. De meme, determiner la matrice B de f².
3)Donner si cela est possible une base de Im(f), de Ker(f) et de ker(f)interIm(f).
4)Soit p un entier naturel non nul. Montrer qu'il existe deux nombres reel ap et bp tels que f^p=ap*f^2+bp*f. Determiner les suites (ap) et (bp).
5) Discuter de la valeur du rang de la matrice A-wIn en fonction des valeurs de w.

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