[RESOLU] Espace vectoriel, familles libres

[zelda007]

Bonjour, je bloque sur cette question d'un DM :

2) Soit F et G deux sev telle que F inter G = {0}

a) Montrer que x + y = 0 x = y = 0
Pas de soucis
b) Montrer que (x,y) est libre dans E avec (c,y) appartenant à F x G.
Pas de soucis
c) Généralisesation de la b) : Montrer (x1, ..., xp, y1, ..., yq) est un famille libre de E.
Pas de soucis
[B]d) Soit (x1, ..., xp, y1, ..., yq) une base de E. Montrer que (x1, ..., xp) est une base de F et que (y1, ..., yq) est une base de G.

Je ne sais pas si je dois faire la démo en deux parties ou en une seule partie.
Je ne sais pas comment m"y prendre pour la question d) en faite

Merci

[abcd22]

Bonjour,
Pour la c on suppose que x1, ..., xp est une famille libre de F et que y1, ..., yq est une famille libre de G, et pour la d) on suppose que les x_i sont dans F et les y_i dans G je suppose ? (sinon les résultats sont faux)
Pour montrer que (x_1, ..., x_p) est une base de F, il suffit de montrer qu'elle est:
- libre, ça ne devrait pas être trop dur,
- génératrice, on prend un élément x de F, on voudrait qu'il s'écrive comme combinaison linéaire de x_1, ..., x_p, pour l'instant on a une base de E et x est aussi dans E...
Ce n'est pas la peine de réécrire la démonstration pour G car les rôles joués par F et G sont identiques.

[zelda007]

Oui c'est ca.

Par contre pour montrer que c'est une famille libre, on prend (a1,...an) des scalaires telles que a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 mais comment montrer que a1 = a2 = ... = an ?

De plus, on sait directement que (x1n...,xp) est une base de E mais de encore de F...

[abcd22]

Par contre pour montrer que c'est une famille libre, on prend (a1,...an) des scalaires telles que a1x1 + a2x2 + ... + anxn = 0 mais comment montrer que a1 = a2 = ... = an ?

On sait que x_1, ..., x_p sont des éléments d'une base de E...

De plus, on sait directement que (x1n...,xp) est une base de E mais de encore de F...

C'est (x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q) la base de E, si on prend un élément de F on peut le décomposer dans cette base puisque F est inclus dans E, il reste à montrer que la partie avec les y_i est nulle pour montrer que (x_1, ..., x_p) est une famille génératrice de F.

[zelda007]

On sait que x_1, ..., x_p sont des éléments d'une base de E...

Oui, donc comme F est inclu dans E on peut directement dire que (x_1,...,x_p) est libre dans F ?

C'est (x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_q) la base de E, si on prend un élément de F on peut le décomposer dans cette base puisque F est inclus dans E, il reste à montrer que la partie avec les y_i est nulle pour montrer que (x_1, ..., x_p) est une famille génératrice de F.

Ok Donc on prend un x de F. Il peut s'ecrire sous la forme :
x = a_1x_1 + ... + a_px_p + b_1x_y_1 + ... + b_qy_q

Mais je vois pas du tout ou tu veux en venir en fait.. Désolé :mur:

[abcd22]

Oui, donc comme F est inclu dans E on peut directement dire que (x_1,...,x_p) est libre dans F ?

Non ce qui compte c'est que (x_1, ..., x_p) est une sous-famille d'une base de E, une base est par définition une famille ..... et ..........., et une sous-famille d'une famille ..... est ..... aussi (compléter les points).

Ok Donc on prend un x de F. Il peut s'ecrire sous la forme :
x = a_1x_1 + ... + a_px_p + b_1x_y_1 + ... + b_qy_q

x est dans F, les x_i aussi, et les y_i sont dans G, on met d'un côté ce qui est dans F et de l'autre ce qui est dans G, on trouve un élément qu'on va appeler z, .
Dans quel(s) sous-espace(s) vectoriel(s) est z ?

[zelda007]

C'est bon j'ai compris,
Merci beaucoup :)