Bonsoir ,
j'ai enormement de mal avec les espaces vectoriel, pouvez vous m'aidez ?
On considere un esp vect R, deux sous espace vect A et B de dim finies, tels que A est inclus dans B
Il faut que je montre que si dim A = dim B alors toute base de A est aussi une base de B
et que j'en deduise que si dim A=dim B alors A=B
je comprends pas du tout comment faire et en plus dans mon poly de fac les notions de dimension et base sont mal expliquées ou du moins expliquées très difficilement et j'espere que vous pourrez m'eclaircir sur ces deux notions de maniere plus simple
Merci d'avance :)
Espace vecto
3 messages
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par Nightmare » 01 Nov 2009, 20:41
Salut,
la plus simple des manières d'expliquer ce qu'il se passe dans un espace vectoriel c'est de faire un dessin.
Concrètement prenons le plan R². C'est un R-espace vectoriel. Lorsque tu dessines un repères, tu décides de faire le choix d'une base du plan, c'est à dire de définir une famille de vecteur (ici, deux vecteurs) qui permet de générer le plan entier et de manière unique. C'est à dire que si l'on prend un vecteur du plan, il s'exprime de manière unique à l'aide des vecteurs de la base.
Si on prend la base usuelle (i,j) avec i=(1,0) et j=(0,1). On a bien tout vecteur u=(a,b) qui s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs i et j (puisque u=ai+bj)
Formellement, une famille de vecteur est une base si elle est génératrice de l'espace (c'est à dire si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille) et si elle est libre (c'est à dire si aucun des vecteurs de la famille ne s'exprime en fonction des autres, ce qui assure l'unicité de la décomposition dans la base donnée).
On montre que toutes les bases d'un même espace vectoriel ont le même nombre de vecteur. Ce nombre est appelé la dimension de l'espace.
Ainsi, dans le plan, pour pouvoir créer un repère il faut deux vecteurs. Le plan (R²) est de dimension 2 (en tant que R-ev, à noter que la dimension dépend du corps de base évidemment).
Avec ceci, essaye de recommencer ton exercice !
la plus simple des manières d'expliquer ce qu'il se passe dans un espace vectoriel c'est de faire un dessin.
Concrètement prenons le plan R². C'est un R-espace vectoriel. Lorsque tu dessines un repères, tu décides de faire le choix d'une base du plan, c'est à dire de définir une famille de vecteur (ici, deux vecteurs) qui permet de générer le plan entier et de manière unique. C'est à dire que si l'on prend un vecteur du plan, il s'exprime de manière unique à l'aide des vecteurs de la base.
Si on prend la base usuelle (i,j) avec i=(1,0) et j=(0,1). On a bien tout vecteur u=(a,b) qui s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs i et j (puisque u=ai+bj)
Formellement, une famille de vecteur est une base si elle est génératrice de l'espace (c'est à dire si tout vecteur de l'espace peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille) et si elle est libre (c'est à dire si aucun des vecteurs de la famille ne s'exprime en fonction des autres, ce qui assure l'unicité de la décomposition dans la base donnée).
On montre que toutes les bases d'un même espace vectoriel ont le même nombre de vecteur. Ce nombre est appelé la dimension de l'espace.
Ainsi, dans le plan, pour pouvoir créer un repère il faut deux vecteurs. Le plan (R²) est de dimension 2 (en tant que R-ev, à noter que la dimension dépend du corps de base évidemment).
Avec ceci, essaye de recommencer ton exercice !
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