Bonjour
Du point de vue notation, si on veut respecter l'énoncé les indices des composantes sont en bas. Donc perso c'est ce que je vais faire.
D'abord pour faire simple considérons l'opérateur de
de
vers
définie par
=(n a_n)_n.)
est bien défini puisque
||_{l^2}^2=\sum_n n^2 |a_n|^2\leq ||a||_{h_1}^2.)
De plus remarquons que
||_{l^2}^2.)
Alors si
})_n)
est une suite de Cauchy dans
, c'est équivalent à dire que
est une suite de Cauchy dans
ainsi que
})_n).)
On en déduite que la suite
converge vers une suite
dans
et
})_n))
vers une suite b dans
Maintenant c'est clair que si une suite converge dans
chaque composante de la suite converge vers chaque composante correspondante de la limite.
C'est pourquoi on a pour chaque composante d'indice k:
}})
converge vers
et
converge vers
On en tire donc que
, pour tout k. Donc que
)
et que
converge vers a dans
c.q.f.d
La deuxième question est évidente.
