Espace suplémentair dans les polynômes

[theorie]

Salut, j'ai un exo sur lequel je coince, le voici:

Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur où égal à n>0. Soit A€E un polynôme de degré p<=n.
Soit F le sous-espace vectoriel des polynômes de l'ensemble de E qui sont multiples de A

Déterminer un sous-espace véctoriel supplémentaire de F

Alors voilà, j'me dis que les polynomes de F sont de degré p, et que donc le suplémentair doit completer ces polynômes de sorte qu'ils soient de degré n...
Donc intuitivement je dirais que ce suplémentair, c'est l'ensemble des polynômes de degré compris entre n et p.
Comme ça, si on prend un polynôme de F (donc de degré p), et un polynôme de ce suplémentair (donc de degré compris entre n et p), et qu'on les additionnes, alors on obtiens un polynômes de degré n...

Mais ça ne doit pas être ça car ce suplémentair ne passe pas les testes de validité pour être un SEV (ne possede pas le polynômes nul)

[memphisto]

Si si c'est un sev. En fait le supplémentaire est l'ensembles des polynômes de degré inférieur ou égal à n qui ne sont pas divisibles par A. 0 est bien divisible par A, car A.0=0.
Si on prends deux polynômes P et P' non divisibles par A, alors P=A.Q+R et P'=A.Q'+R' avec R et R' non nuls, et de degrés strictement inférieur à p. Alors P+P'=A(Q+Q')+(R+R') avec le reste (R+R') non nul, et de degré strictement inférieur a p.

[yos]

Soit memphisto est un peu fatigué, soit c'est moi.

Le supplémentaire est plutôt formé des polynômes de degré <p.
Tu prends un polynôme Q appartenant à E. Tu le divises par A :
Q=AB+R avec deg(R)<deg(A)=p Tu as bien une décomposition de ton polynôme en un multiple de A et un polynôme de degré<p. Cette décomposition est clairement unique.

Quant à ce que tu proposes, ça fait pas un sev, puisque si tu prends 2A+1 et A+1 dans ton ensemble, la différence est A qui est multiple de A.

Je crois que ton erreur est là :

avec le reste (R+R') non nul

[memphisto]

Ben disons j'ai regardé la somme, mais pas la différence

[memphisto]

Evidement, j'étais un peu fatigué, et surtout j'ai répondu un peu trop rapidement, mais il est clair que Yos a raison. Le supplémentaire est le sev des restes de la division euclidienne par A.