Espace de sobolev

[zephira]

Bonjour,
Une question qui me turlupine :
Si on a u et v dans un espace de sobolev admettant u' et v' comme dérivées faibles. A t'on le droit d'écrire (uv)' = u'v + v'u
Merci d'avance!

edit : sinon comment prouve t'on : pour tout u dans H1(I) où I=]0,1[ avec u(1)=u(0)=0 :
integrale_sur_I(x*u'*u)=-0.5*intégrale_sur_I(u²)

[girdav]

Pour la deuxième question, on a que l'ensemble des fonctions de qui sont nulles au bord est . On peut raisonner donc par densité.

[zephira]

ok donc a priori on a pas en général (uv)' =u'v + v'u ?
Du coup j'essaye par densité:

Si ca ne te dérange pas de jeter un coup d'oeil à ma rédaction car mon prof est pointilleux, ca serait gentil:

Par densité des fonction C infini à support compact dans H1 nulles aux bords, on peut trouver Un une suite de fonction convergente dans H1,0 vers U

de plus par Ipp classique : integrale_sur_I(x*Un'*Un)=-0.5*intégrale_sur_I(Un²) pour tout n
or Un ->U dans H1,0 => Un -> U dans L² et Un' -> U' dans L²

De plus, I étant borné, et par l'inégalité de Poincaré il vient

Un -> U dans L infini

Donc Un * Un' -> U * U' dans L² c L1 car I est borné
donc integrale_sur_I(x*Un'*Un)->integrale_sur_I(x*U'*U)
et integrale_sur_I(Un²)->integrale_sur_I(U²)
Par unicité de la limite on a le résultat

Ca semble tenir la route?

[girdav]

Ça semble correct, même si on n'est pas obligé de passer par le fait qu'il y a convergence dans . On peut écrire par Cauchy-Schwarz que

puis .
Concernant la première question, il faut préciser l'espace.

[zephira]

effectivement c'est plus élégant. Merci beaucoup de ton attention en tout cas

[xyz1975]

uv dans les espaces de Sobolev ou dans les espaces de fonctions est en général un produit de dualité, attention.

[kazeriahm]

Si I est un intervalle, les fonctions de H1(I) sont de classe C1 et donc il n'y a aucun soucis !

[zephira]

es tu sur de ce que tu dis???? Si I est borné on a bien que les fonctions C1 sont inclus dans l'espace de sobolev mais en tout cas légalité n'est pas prouvée dans mon cours et cela m'étonnerai que mon prof se soit trompé

[kazeriahm]

erm n'importe quoi, ca m'apprendre à écrire sans réfléchir

les fonctions de H^1(I) admettent un représentant continu (c'est à dire si u est H^1(I), il existe f continue sur I telle que u=f p.p.) si I est un ouvert de R.... autant pour moi. Pour plus d'infos sur le sujet, à savoir les injections de H^m dans C^k, voir http://www.iecn.u-nancy.fr/~munnier/files/cours_edp.pdf à la page 31 (sections Injections continues, compactes)

[zephira]

erm n'importe quoi, ca m'apprendre à écrire sans réfléchir

les fonctions de H^1(I) admettent un représentant continu (c'est à dire si u est H^1(I), il existe f continue sur I telle que u=f p.p.) si I est un ouvert de R.... autant pour moi. Pour plus d'infos sur le sujet, à savoir les injections de H^m dans C^k, voir http://www.iecn.u-nancy.fr/~munnier/files/cours_edp.pdf à la page 31 (sections Injections continues, compactes)

a oui la je suis d'accord. Mais d'ailleurs en fait si I est borné la formule est vrai pour (uv)' dans W(1,p) (I) pour tout p<infini par densité. Je viens de faire un exo démontrant cette propriété