Espace produit et compacité

[legeniedesalpages]

Bonsoir,

je galère sur cet exo:

Soient et deux espaces métriques. Soient un compact de , un compact de , et un ouvert de contenant .

1) Montrer qu'il existe un ouvert de contenant , et un ouvert de contenant , tels que .

2) Donner un contre-exemple lorsque les hypothèses de compacité ne sont pas vérifiées.

Déjà pour la 1) je ne vois pas comment faire.

Merci pour vos indications.

[ThSQ]

Intéressant, tu fais quoi (licence/maitrise/master/... ?) pour avoir la chance de faire autant de topo legeniedesalpages ?

J'ai pas utilisé l'hypothèse métrique donc il y surement un argument métrique qui torche .... (distance à une partie ou truc du genre ?)

Faut faire un dessin dans R² pour voir d'où sortent les U1 et U2.

On prend x dans K1. Pour tous les y dans K2, il y a un ouvert U1(x,y) de E1 et U2(x,y) un ouvert de E2 tels que (x,y) € U1(x,y) x U2(x,y) soit inclus dans U.

Donc { U2(x,y), y € K2 } recouvre K2 : on prend un sous-rec. fini avec y1, ..., yn (qui dépendent de x a priori).

Maintenant on prend :
- U1(x) = intersection_i U1(x,y_i)
- U2(x) = union_i U2(x,y_i)

Les U1 et U2 sont des ouverts (de E1 et E2 respectivement).

Les U1(x) recouvrent K1 : on prend des x_i pareil.

Alors U1 = union U1(x_i) et U2 = intersection U2(x_i) marchent (si je me suis pas emmêlé dans les indices ...).

[legeniedesalpages]

Intéressant, tu fais quoi (licence/maitrise/master/... ?) pour avoir la chance de faire autant de topo legeniedesalpages ?

J'ai pas utilisé l'hypothèse métrique donc il y surement un argument métrique qui torche .... (distance à une partie ou truc du genre ?)

Licence, oui. J'ai une matière tous les semestre où je fais que de la topo. Et j'approfondi un peu dur un bouquin sur un exo (mes exos d'evt viennent de là).

et toi où tu as trouvé de la topo? Au lycée c'est plutôt rare? :hein:

oui de mon côté suite à un dessin, je pensais plutôt utiliser des , pour faire ces ouverts, mais je me cassais les dents.

Merci ThSQ je vais regarder de près tes indications.

[ffpower]

tu utilise quand meme le fait que l on puisse séparer un ouvert d un point(ce qui n est pas vrai ds toute topo).sinon l argument qui torche en metrique c de dire que d(K1,K2)>0 (ou d(K1,K2) est l inf des d(x,y),pour x dans K1,y dans K).ca vient du fait que (x,y)->d(x,y) est continue donc atteint son min sur K1xK2,car ce dernier est compact.et si on note epsilon=d(K1,K2),il suffit de prendre U1={x\d(x,K1)

[alavacommejetepousse]

tu utilise quand meme le fait que l on puisse séparer un ouvert d un point(ce qui n est pas vrai ds toute topo).sinon l argument qui torche en metrique c de dire que d(K1,K2)>0 (ou d(K1,K2) est l inf des d(x,y),pour x dans K1,y dans K).ca vient du fait que (x,y)->d(x,y) est continue donc atteint son min sur K1xK2,car ce dernier est compact.et si on note epsilon=d(K1,K2),il suffit de prendre U1={x\d(x,K1)<epsilon/2} et U2={x\d(x,K2)<epsilon/2}

que vaudrait d(x,y) avec x dans K1 et y dans K2; K1 et K2des espaces sans rapport?

[ffpower]

Autant pour moi,me suis completement gourré d exo lol..ce truc c est pour montrer que 2 compacts disjoints peuvent etre séparé par 2 ouverts dijoints...

la en fait pour utiliser la métrique faudrait plutot regarder D(K,F) ou D est la métrique produit, K=K1xK2 ,F=E1xE2-U puis agrandir K1 et K2 de la moitié de cette distance..faut il encore montrer que la distance est strictement positive,ce qui se fait en regardant le min sur K de z->D(z,F).
Bon au final chui pas sur que ce soit tellement plus simple que la solution de ThSQ lol

[ThSQ]

tu utilise quand meme le fait que l on puisse séparer un ouvert d un point(ce qui n est pas vrai ds toute topo).

La notion de compacité implique la notion de séparation si je me trompe pas.


legeniedesalpages c'est notre prof de term qui nous a dit qu'il y avait deux trucs à connaitre parfaitement en maths car ils apparaissaient partout : la topologie et l'algèbre linéaire. Du coup j'ai lu des trucs sur la topo et ça m'a plutôt passionné !

[legeniedesalpages]

La notion de compacité implique la notion de séparation si je me trompe pas.


legeniedesalpages c'est notre prof de term qui nous a dit qu'il y avait deux trucs à connaitre parfaitement en maths car ils apparaissaient partout : la topologie et l'algèbre linéaire. Du coup j'ai lu des trucs sur la topo et ça m'a plutôt passionné !

lol, il a bien fait! :lol2:


pour en revenir à ce que tu me proposes c'est pas très clair que .


Pour le vérifier j'ai fait comme ça, mais je ne suis pas super convaincu par ce que j'ai fait:


,

et pour tout , on a ,

donc , c'est bien ça?