Espace metrique

[Obito31]

bonsoir à tous,

Si on se donne un espace métrique, j'aimerai savoir qu'est ce qui nous par exemple que si on prend un point x de l'espace et la boule de centre x et de rayon epsilon très petit on capturera les points proche de x au sens où l'on voudrai le faire ?

[Obito31]

ou bien on met une distance en fonction des points quand voudrai designer comme proche de x ?

[jsvdb]

Bonsoir Obito31
Par définition, une boule de centre x et de rayon R capture tous les points qui sont à une distance inférieure à R de x.

Donc si tu veux avoir tel point à une distance assez proche de x alors tu te débrouilles pour trouver la distance qui te convient. Mais bon, si d est une distance, alors pour , d' = Md est une distance qui rapproche les points d'un rapport M par rapport à d.

Si alors

[Skullkid]

Bonjour,

Pas sûr d'avoir bien compris le fond de la question, en particulier je ne vois pas trop où tu veux en venir en parlant des points "proches de x au sens où on le voudrait", mais voici une clarification qui aidera peut-être.

Dans un espace topologique général, la notion de proximité est dictée par les voisinages (donc par les ouverts) : en gros, être proche de x ça veut dire être dans beaucoup de voisinages de x, et les énoncés qui parlent de limite ou de continuité en x commencent par "pour tout voisinage de x" au lieu de "pour tout epsilon > 0".

Dans un espace métrique, la distance fournit un moyen direct de mesurer la proximité, c'est pourquoi les espaces métriques sont livrés avec une topologie naturelle : celle pour laquelle les voisinages de x (enfin plus exactement une base de voisinages de x) sont les boules ouvertes centrées en x. En utilisant cette topologie, on est sûr que tout est cohérent : être proche de x = être à une faible distance de x = être dans beaucoup de boules ouvertes centrées en x.

Dans tous les cas c'est bien le choix de la topologie/distance qu'on met sur un espace qui détermine le sens qu'on donne à "proche de".