Espace métrique

[oxsase97]

Bonjour,
Voici un petit devoir à faire sur les espaces métriques et je ne sais pas trop comment m'y prendre...

Soient X et Y des espaces métriques et soit f:X-->Y un homéomorphisme. Considérons les propriétés suivantes:
1. X est borné.
2. X est compact.
3. X est complet.
4. X est séparable.
Quelles de ces priorités passent à l'espace Y?

Je prends volontiers des explications et une démonstration de comment faire pour le 1 et 2, afin que je puisse essayer de faire le 3 et 4 seul... Redites moi.
Merciiii
Bon weekend.

[Mimosa]

Bonjour

1) Pour que tu puisses commencer et réfléchir à ce qui se passe, prends et munis chacun de la distance usuelle et cherche un homéomorphisme .

2) utilise un théorème du cours.

[oxsase97]

Merci pour l'aide, effectivement, cela est une bonne chose de visualiser concrêtement de quoi on parle, et j'ai trouvé plusieurs exemple qui me pousse à dire que la propriété du 1) passe à Y. Maintenant comment je pourrais construire ma preuve de manière générale?

[tournesol]

Pour faire de un ensemble borné , il faut changer sa distance .
Pense à 1/x de ]0;1[ dans ]1;+infini[

[oxsase97]

Hello Tournesol,
Merci pour ta réponse. Néanmoins, je ne vois quand même pas comment généraliser, sachant que mon Y peut être associé à R, mais aussi à n'importe quoi d'autre... Dans l'énoncé, on parle simplement d'un homéomorphisme f:X-->Y
Je prends volontiers encore quelques informations... Je nage un peu. On vient de commencer la topologie, et ces espaces métriques sont très abstraits... Merci à tous d'avance pour votre aide.
Bon dimanche

[pascal16]

avec l"homéomorphisme on a la bijectivité et la continuité , Y=f(X) et tout élément a un antécédent, ça simplifie les choses.
si une suite d'élément de X converge vers x, ça donne quoi pour f(cette suite)...

[tournesol]

mon contre-exemple montre que la propriété 1 ne se transmet pas .

[oxsase97]

Merci tournesol, effectivement, contre exemple simple mais efficace... J'étais rester sur la preuve que ça fonctionnenait et je n'ai pas vraiment fait très attention à l'exemple, le trouvant trop précis... mais avec raison. Donc merci Je visualise tout à fait.
Merci aussi à toi Pascal mais avec ce contre exemple, cela stoppe le raisonnement de preuve.
Merci à vous deux.
Dernière petite question, pour 3 et 4, si vous pouvez juste me dire lesquelles de ces propriétés passent et celles qui ne passent pas, comme ça je sais comment orienter ma recherche.... Merci

[Mimosa]

3 ne passe pas.